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代数学 におけるコーシー・ビネの公式 (こーしー・びねのこうしき、英 : Cauchy–Binet formula )、あるいは、コーシー・ビネの定理 、コーシー・ビネの展開 とは、(ジャック・フィリップ・マリー・ビネ )(英語版) および オーギュスタン=ルイ・コーシー に由来する恒等式 で、2つの行列 の積から作られる正方行列 の行列式 を、元の行列から取り出せる最大の小行列式 の積の和で表せるというものであり[1] 、行列の要素は実数 や複素数 だけでなく可換環 としても成立する。
定理 n を自然数 とし、集合 {1, …, n } を [n ] と表記する。 m を非負の整数 として、A をm ×n の行列 、B をn ×m の行列とする。 S を要素数(|S | = )m の [n ]の部分集合とし、 AS をA のn 個の列 からS に含まれる添字の列 を取り出して得られたm ×m 行列、 BS をB のn 個の行 からS に含まれる添字の行 を取り出して得られたm ×m 行列とする。
m ×m 行列である積AB の行列式 は
det ( A B ) = ∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) {\displaystyle \det(AB)=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})} で表せる。ただし、和において、S は{1,...,n } の要素数m の部分集合のすべてを取るとする。なお、m > n の場合は右辺は0である。
要素を用いた記法 A := ( a 1 , 1 ⋯ a 1 , m ⋯ a 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a m , 1 ⋯ a m , m ⋯ a m , n ) , B := ( b 1 , 1 ⋯ b 1 , m ⋮ ⋱ ⋮ b m , 1 ⋯ b m , m ⋮ ⋱ ⋮ b n , 1 ⋯ b n , m ) {\displaystyle A:={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,m}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,m}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}},\quad B:={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m,1}&\cdots &b_{m,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\end{pmatrix}}} に対して、公式は
| ∑ k = 1 n a 1 , k b k , 1 ⋯ ∑ k = 1 n a 1 , k b k , m ⋮ ⋱ ⋮ ∑ k = 1 n a m , k b k , 1 ⋯ ∑ k = 1 n a m , k b k , m | = ∑ 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n | a 1 , k 1 ⋯ a 1 , k m ⋮ ⋱ ⋮ a m , k 1 ⋯ a m , k m | | b k 1 , 1 ⋯ b k 1 , m ⋮ ⋱ ⋮ b k m , 1 ⋯ b k m , m | {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,1}&\cdots &\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _{k=1}^{n}a_{m,k}b_{k,1}&\cdots &\sum \limits _{k=1}^{n}a_{m,k}b_{k,m}\end{vmatrix}}&=\textstyle \sum \limits _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}{\begin{vmatrix}a_{1,k_{1}}&\cdots &a_{1,k_{m}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,k_{1}}&\cdots &a_{m,k_{m}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{k_{1},1}&\cdots &b_{k_{1},m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{k_{m},1}&\cdots &b_{k_{m},m}\end{vmatrix}}\end{aligned}}} と表現できる。ただし、右辺の総和において、 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n {\displaystyle 1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n} を満たす整数の組 { k 1 , k 2 , ⋯ , k m } {\displaystyle \{k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\}} の全てに対して和を取るとする。なお、m > n の場合は右辺は 0 である。
小行列式を用いた記法 記法
B ( k 1 ⋯ k m 1 ⋯ m ) ≡ | b k 1 , 1 ⋯ b k 1 , m ⋮ ⋱ ⋮ b k m , 1 ⋯ b k m , m | {\displaystyle B{\begin{pmatrix}k_{1}&\cdots &k_{m}\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}\equiv {\begin{vmatrix}b_{k_{1},1}&\cdots &b_{k_{1},m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{k_{m},1}&\cdots &b_{k_{m},m}\end{vmatrix}}} を使えば
( A B ) ( 1 ⋯ m 1 ⋯ m ) = ∑ 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n A ( 1 ⋯ m k 1 ⋯ k m ) B ( k 1 ⋯ k m 1 ⋯ m ) {\displaystyle (AB){\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k_{1}&\cdots &k_{m}\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}k_{1}&\cdots &k_{m}\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}} となる。ただし、右辺の総和において、 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n {\displaystyle 1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n} を満たす整数の組 { k 1 , k 2 , ⋯ , k m } {\displaystyle \{k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\}} の全てに対して和を取るとする。なお、m > n の場合は右辺は 0 である。
定理の証明 行列式の(多重線型性 )により
det ( A B ) = | ∑ p 1 = 1 n a 1 , p 1 b p 1 , 1 ⋯ ∑ p m = 1 n a 1 , p m b p m , m ⋮ ⋱ ⋮ ∑ p 1 = 1 n a m , p 1 b p 1 , 1 ⋯ ∑ p m = 1 n a m , p m b p m , m | = ∑ p 1 = 1 n ⋯ ∑ p m = 1 n | a 1 , p 1 ⋯ a 1 , p m ⋮ ⋱ ⋮ a m , p 1 ⋯ a m , p m | b p 1 , 1 ⋯ b p m , m = ∑ p : [ m ] → [ n ] A ( 1 ⋯ m p ( 1 ) ⋯ p ( m ) ) b p ( 1 ) , 1 ⋯ b p ( m ) , m {\displaystyle {\begin{aligned}\det(AB)&={\begin{vmatrix}\sum \limits _{p_{1}=1}^{n}a_{1,p_{1}}b_{p_{1},1}&\cdots &\sum \limits _{p_{m}=1}^{n}a_{1,p_{m}}b_{p_{m},m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _{p_{1}=1}^{n}a_{m,p_{1}}b_{p_{1},1}&\cdots &\sum \limits _{p_{m}=1}^{n}a_{m,p_{m}}b_{p_{m},m}\end{vmatrix}}\\&=\textstyle \sum \limits _{p_{1}=1}^{n}\cdots \sum \limits _{p_{m}=1}^{n}{\begin{vmatrix}a_{1,p_{1}}&\cdots &a_{1,p_{m}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,p_{1}}&\cdots &a_{m,p_{m}}\end{vmatrix}}\,b_{p_{1},1}\cdots b_{p_{m},m}\\&=\textstyle \sum \limits _{p:[m]\to [n]}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\p(1)&\cdots &p(m)\end{pmatrix}}b_{p(1),1}\cdots b_{p(m),m}\end{aligned}}} が導かれる。最後の式の p は {1, …, m } から {1, …, n } への写像である。
行列式の反対称性 によりp が単射 の場合のみ行列式は非零なので、p(i) = k(π(i)) と置き換えられる。ここで、置換 π : [m ]→[m ] はm 次の対称群 S m {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{m}} の元であり、k :[m ]→[n ] は i < j ⇒ k(i) < k(j) を満たす関数である。これより
det ( A B ) = ∑ π ∈ S m ∑ k : [ m ] → [ n ] i < j ⇒ k ( i ) < k ( j ) A ( 1 ⋯ m k ( π ( 1 ) ) ⋯ k ( π ( m ) ) ) b k ( π ( 1 ) ) , 1 ⋯ b k ( π ( m ) ) , m = ∑ π ∈ S m ∑ k : [ m ] → [ n ] i < j ⇒ k ( i ) < k ( j ) sgn ( π ) A ( 1 ⋯ m k ( 1 ) ⋯ k ( m ) ) b k ( π ( 1 ) ) , 1 ⋯ b k ( π ( m ) ) , m = ∑ k : [ m ] → [ n ] i < j ⇒ k ( i ) < k ( j ) A ( 1 ⋯ m k ( 1 ) ⋯ k ( m ) ) B ( k ( 1 ) ⋯ k ( m ) 1 ⋯ m ) = ∑ 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n A ( 1 ⋯ m k 1 ⋯ k m ) B ( k 1 ⋯ k m 1 ⋯ m ) {\displaystyle {\begin{aligned}\det(AB)&=\sum _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\sum _{k:[m]\to [n] \atop i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(\pi (1))&\cdots &k(\pi (m))\end{pmatrix}}b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\&=\sum _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\sum _{k:[m]\to [n] \atop i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}\operatorname {sgn}(\pi )~A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\&=\sum _{k:[m]\to [n] \atop i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}k(1)&\cdots &k(m)\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}\\&=\sum _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k_{1}&\cdots &k_{m}\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}k_{1}&\cdots &k_{m}\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}\end{aligned}}} が成り立つ。なお、sgn(π ) は置換π の(符号 )であり、行列式の反対称性
A ( 1 ⋯ m k ( π ( 1 ) ) ⋯ k ( π ( m ) ) ) = sgn ( π ) A ( 1 ⋯ m k ( 1 ) ⋯ k ( m ) ) {\displaystyle A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(\pi (1))&\cdots &k(\pi (m))\end{pmatrix}}=\operatorname {sgn}(\pi )~A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}} および、
B ( k ( 1 ) ⋯ k ( m ) 1 ⋯ m ) = ∑ π ∈ S m sgn ( π ) b k ( π ( 1 ) ) , 1 ⋯ b k ( π ( m ) ) , m {\displaystyle B{\begin{pmatrix}k(1)&\cdots &k(m)\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}=\sum _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\operatorname {sgn}(\pi )~b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}} を用いた。
具体例 (1) m = 1, n = 3 とし、行列を A = ( 1 1 2 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\end{pmatrix}}} および B = ( 1 3 0 ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}} とする。 A B = ( 4 ) {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4\end{pmatrix}}} であり、 S = { 1 } , { 2 } , { 3 } {\displaystyle S=\{1\},\{2\},\{3\}} であるから、
det ( A B ) = 4 ∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) = det ( 1 ) ⋅ det ( 1 ) + det ( 1 ) ⋅ det ( 3 ) + det ( 2 ) ⋅ det ( 0 ) = 4. {\displaystyle {\begin{aligned}&\det(AB)=4\\&\sum _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})=\det(1)\cdot \det(1)+\det(1)\cdot \det(3)+\det(2)\cdot \det(0)=4.\\\end{aligned}}} となる。
(2) m = 2, n = 3 とし、行列を A = ( 1 1 2 3 1 − 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\\end{pmatrix}}} および B = ( 1 1 3 1 0 2 ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}}} とする。 A B = ( 4 6 6 2 ) {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6\\6&2\end{pmatrix}}} であり、 S = { 1 , 2 } , { 2 , 3 } , { 1 , 3 } {\displaystyle S=\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}} であるから、
det ( A B ) = | 4 6 6 2 | = − 28 ∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) = | 1 1 3 1 | ⋅ | 1 1 3 1 | + | 1 2 1 − 1 | ⋅ | 3 1 0 2 | + | 1 2 3 − 1 | ⋅ | 1 1 0 2 | = ( − 2 ) × ( − 2 ) + ( − 3 ) × 6 + ( − 7 ) × 2 = − 28. {\displaystyle {\begin{aligned}&\det(AB)=\left|{\begin{matrix}4&6\\6&2\end{matrix}}\right|=-28\\&\sum _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})=\left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\0&2\end{matrix}}\right|\\&\qquad \qquad =(-2)\times (-2)+(-3)\times 6+(-7)\times 2=-28.\\\end{aligned}}} となる。
(3) m = 3, n = 3 とし、行列を A = ( 1 1 2 3 1 − 1 1 − 1 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\1&-1&0\\\end{pmatrix}}} および B = ( 1 1 0 3 1 0 0 2 1 ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&1&0\\3&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}}} とする。 A B = ( 4 6 2 6 2 − 1 − 2 0 0 ) {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6&2\\6&2&-1\\-2&0&0\end{pmatrix}}} であり、 S = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle S=\{1,2,3\}} であるから、
det ( A B ) = | 4 6 2 6 2 − 1 − 2 0 0 | = 20 ∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) = | 1 1 2 3 1 − 1 1 − 1 0 | | 1 1 0 3 1 0 0 2 1 | = ( − 10 ) × ( − 2 ) = 20. {\displaystyle {\begin{aligned}&\det(AB)=\left|{\begin{matrix}4&6&2\\6&2&-1\\-2&0&0\end{matrix}}\right|=20\\&\sum _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})=\left|{\begin{matrix}1&1&2\\3&1&-1\\1&-1&0\\\end{matrix}}\right|\left|{\begin{matrix}1&1&0\\3&1&0\\0&2&1\end{matrix}}\right|=(-10)\times (-2)=20.\\\end{aligned}}} となる。
(4) m = 4, n = 3 とし、行列を A = ( 1 1 2 3 1 − 1 1 − 1 0 1 0 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\1&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}} および B = ( 1 1 0 1 3 1 0 0 0 2 1 0 ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&1&0&1\\3&1&0&0\\0&2&1&0\end{pmatrix}}} とする。 A B = ( 4 6 2 1 6 2 − 1 3 − 2 0 0 1 1 1 0 1 ) {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6&2&1\\6&2&-1&3\\-2&0&0&1\\1&1&0&1\end{pmatrix}}} であり、 S {\displaystyle S} は存在しないから、
det ( A B ) = | 4 6 2 1 6 2 − 1 3 − 2 0 0 1 1 1 0 1 | = 0 ∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}&\det(AB)=\left|{\begin{matrix}4&6&2&1\\6&2&-1&3\\-2&0&0&1\\1&1&0&1\end{matrix}}\right|=0\\&\sum _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})=0.\\\end{aligned}}} となる。
以上より、コーシー・ビネの公式が具体的な例で確認できる。
一般化されたクロネッカーのデルタとの関係 A ≐ ( δ 1 i 1 ⋯ δ m i 1 ⋯ δ n i 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ δ 1 i m ⋯ δ m i m ⋯ δ n i m ) , B ≐ ( δ j 1 1 ⋯ δ j m 1 ⋮ ⋱ ⋮ δ j 1 m ⋯ δ j m m ⋮ ⋱ ⋮ δ j 1 n ⋯ δ j m n ) ( i k ∈ [ n ] , j k ∈ [ n ] f o r k ∈ [ m ] ) {\displaystyle A\doteq {\begin{pmatrix}\delta _{1}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{m}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{n}^{i_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{1}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{m}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{n}^{i_{m}}\end{pmatrix}},\quad B\doteq {\begin{pmatrix}\delta _{j_{1}}^{1}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{m}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{n}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{n}\end{pmatrix}}\quad (i_{k}\in [n],j_{k}\in [n]\mathrm {~for~} k\in [m])} とする。ただし、δはクロネッカーのデルタ
δ ν μ = { 1 ( μ = ν ) 0 ( μ ≠ ν ) {\displaystyle \delta _{\nu }^{\mu }={\begin{cases}1&\quad (\mu =\nu )\\0&\quad (\mu \neq \nu )\end{cases}}} である。 これをコーシー・ビネの公式に代入し、(一般化されたクロネッカーのデルタ )
δ j 1 ⋯ j m i 1 ⋯ i m ≡ | δ j 1 i 1 ⋯ δ j m i 1 ⋮ ⋱ ⋮ δ j 1 i m ⋯ δ j m i m | {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}&\equiv {\begin{vmatrix}\delta _{j_{1}}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{i_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{i_{m}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}} を使えば、
δ j 1 ⋯ j m i 1 ⋯ i m = ∑ 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n δ k 1 ⋯ k m i 1 ⋯ i m δ j 1 ⋯ j m k 1 ⋯ k m ( i p ∈ [ n ] , j p ∈ [ n ] f o r p ∈ [ m ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}&=\sum _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}\delta _{k_{1}\cdots k_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}\delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{k_{1}\cdots k_{m}}\quad (i_{p}\in [n],j_{p}\in [n]\mathrm {~for~} p\in [m])\end{aligned}}} が得られる。逆にこの式からコーシー・ビネの公式を導くこともできる。
これは単位行列の基本的性質
δ j i = ∑ k = 1 n δ k i δ j k ( i ∈ [ n ] , j ∈ [ n ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{j}^{i}&=\sum _{k=1}^{n}\delta _{k}^{i}\delta _{j}^{k}\quad (i\in [n],j\in [n])\end{aligned}}} の一般化である。
特別な場合 m >n の場合 1≦k 1 < … <k m ≦n となる整数の組 {k i (i=1,…,m )} は存在しないから、公式の右辺は0となり、よって、det(AB )=0 が得られる。実際、A ,B の階数 はこの場合高々n だから、 m ×m 行列 AB の階数も高々n (<m )であるので、その行列式は0になる。
m = n のとき、A と B はともに正方行列になる。 1≦k 1 < … <k m ≦n となる整数の組 {k i (i=1,…,m )} は [n ] と等しいから、公式は
( A B ) ( 1 ⋯ m 1 ⋯ m ) = A ( 1 ⋯ m 1 ⋯ n ) B ( 1 ⋯ n 1 ⋯ m ) {\displaystyle (AB){\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\1&\cdots &n\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}1&\cdots &n\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}} すなわち det(AB )=det(A )det(B ) となる。
m = 0 のとき、 A と B そして AB は(空行列 ) (ただし、n > 0 なら行列の型は異なる)。空行列の行列式は定義により1だから、公式は 1 = 1 を述べているに過ぎない。
m = 1 のとき、公式は det ( ∑ j = 1 n A 1 , j B j , 1 ) = ∑ k = 1 n det ( A k 1 ) det ( B 1 k ) {\displaystyle \textstyle \det(\sum _{j=1}^{n}A_{1,j}B_{j,1})=\sum _{k=1}^{n}\det(A_{k}^{1})\det(B_{1}^{k})} となるが、1×1行列 A に対して det(A )=A だから、自明の式を述べているに過ぎない。
m = 2 のとき、非自明な公式を与える最小の m であり、そのときの公式
| ∑ k = 1 n a k 1 b 1 k ∑ k = 1 n a k 1 b 2 k ∑ k = 1 n a k 2 b 1 k ∑ k = 1 n a k 2 b 2 k | = ∑ 1 ≤ k 1 < k 2 ≤ n | a k 1 1 a k 2 1 a k 1 2 a k 2 2 | | b 1 k 1 b 2 k 1 b 1 k 2 b 2 k 2 | {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{1}b_{1}^{k}&\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{1}b_{2}^{k}\\\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{1}^{k}&\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{2}^{k}\end{vmatrix}}&=\sum _{1\leq k_{1}<k_{2}\leq n}{\begin{vmatrix}a_{k_{1}}^{1}&a_{k_{2}}^{1}\\a_{k_{1}}^{2}&a_{k_{2}}^{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{1}^{k_{1}}&b_{2}^{k_{1}}\\b_{1}^{k_{2}}&b_{2}^{k_{2}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}} はビネ・コーシーの恒等式 と呼ばれる。
n = 3 の場合の具体例 a , b , c , d , x , y , z , w {\displaystyle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {z}},{\boldsymbol {w}}} は3次元ベクトルとする。 1 = 1 ( m = 0 ) a ⋅ x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 ( m = 1 ) | a ⋅ x a ⋅ y b ⋅ x b ⋅ y | = | a 2 a 3 b 2 b 3 | | x 2 y 2 x 3 y 3 | + | a 3 a 1 b 3 b 1 | | x 3 y 3 x 1 y 1 | + | a 1 a 2 b 1 b 2 | | x 1 y 1 x 2 y 2 | = ( a × b ) ⋅ ( x × y ) ( m = 2 ) | a ⋅ x a ⋅ y a ⋅ z b ⋅ x b ⋅ y b ⋅ z c ⋅ x c ⋅ y c ⋅ z | = | a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 | | x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 | = { a ⋅ ( b × c ) } { x ⋅ ( y × z ) } ( m = 3 ) | a ⋅ x a ⋅ y a ⋅ z a ⋅ w b ⋅ x b ⋅ y b ⋅ z b ⋅ w c ⋅ x c ⋅ y c ⋅ z c ⋅ w d ⋅ x d ⋅ y d ⋅ z d ⋅ w | = 0 ( m = 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}1&=1&(m=0)\\{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}&(m=1)\\{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\&=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {x}}\times {\boldsymbol {y}})&(m=2)\\{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}\\&=\{{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}\{{\boldsymbol {x}}\cdot ({\boldsymbol {y}}\times {\boldsymbol {z}})\}&(m=3)\\{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {w}}\end{vmatrix}}&=0&(m=4)\end{aligned}}}
m >3の場合、右辺は常に0である。なお、 m =2の式は(スカラー四重積 )に対するビネ・コーシーの恒等式 、 m =3の式は(スカラー三重積 )の積に対する公式であり、 m =4の式より四重積 (ベクトル解析) の公式
[ a , b , c ] d = [ d , b , c ] a + [ a , d , c ] b + [ a , b , d ] c ( [ a , b , c ] = a ⋅ ( b × c ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}~[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {d}}&=[{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {b}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {c}}\quad ([{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}}))\end{aligned}}}
が導かれる。
脚注
参考文献 伊理正夫 、韓太舜 『線形代数 行列とその標準形』教育出版〈新しい応用の数学16〉、1977年6月。ISBN (4-316-37670-5 )。 Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) A Comprehensive Introduction to Linear Algebra , §4.6 Cauchy- Binet theorem, pp 208–14, Addison-Wesley (ISBN 0-201-50065-5 ) . Jin Ho Kwak & Sungpyo Hong (2004) Linear Algebra 2nd edition, Example 2.15 Binet-Cauchy formula, pp 66,7, Birkhäuser (ISBN 0-8176-4294-3 ) . Igor R. Shafarevich & Alexey O. Remizov (2012) Linear Algebra and Geometry , §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377), (ISBN 978-3-642-30993-9 ). Aaron Lauve (2004) A short combinatoric proof of Cauchy–Binet formula from Université du Québec à Montréal.
関連項目
外部リンク