クルト・ゲーデル

クルト・ゲーデル（Kurt Gödel, 1906年4月28日 - 1978年1月14日）は、オーストリア・ハンガリー帝国出身の数学者・論理学者・哲学者である。業績には、完全性定理、不完全性定理^[1]および連続体仮説に関する研究が知られる。

クルト・ゲーデル Kurt Gödel
1925年撮影
生誕	(1906-04-28) 1906年4月28日 オーストリア＝ハンガリー帝国、ブリュン
死没	1978年1月14日(1978-01-14)（71歳） アメリカ合衆国、ニュージャージー州 プリンストン
研究分野	数学, 数理論理学
研究機関	プリンストン高等研究所
出身校	ウィーン大学
博士課程 指導教員	ハンス・ハーン
主な業績	ゲーデルの完全性定理, ゲーデルの不完全性定理, 連続体仮説, (ゲーデルの神の存在論的証明)（英語版）
主な受賞歴	アルベルト・アインシュタイン賞 (1951年); アメリカ国家科学賞 数学部門(1974年)
署名
プロジェクト:人物伝
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略歴

オーストリア=ハンガリー帝国時代

オーストリア=ハンガリー帝国のモラヴィアに生まれる。1924年、ゲーデルは、ウィーン大学に入学し、まず物理学を、後に数学を学んだ。そして、1930年には、最初の重要な業績である「完全性定理」（第一階述語論理の完全性定理）を発表し、学位を得た。(テオドール・スコーレム)、ジャック・エルブランの二名がこれに限りなく等しい成果を出していたものの、ゲーデルが最終的に誤謬なく完成させた。

翌1931年、ゲーデル数の概念を用い、20世紀の数学基礎論、論理学にとって最も重要な発見とされる「不完全性定理」を発表した。これは、ヒルベルトが数学の無矛盾性を証明するために推進した「ヒルベルト・プログラム」に関連して研究されたものであるが、「数学は自己の無矛盾性を証明できない^[2]」ことを示した不完全性定理は、ヒルベルト学派の主張した有限の立場を忠実に用いて、手法としての超数学を具体化することで、皮肉にもそのプログラムが本質的に不可能であることを暗示するというものであった。

1940年、ヒルベルトの第一問題（連続体仮説）について、「集合論のZF公理系が無矛盾ならば、そこに選択公理と一般連続体仮説を加えても無矛盾である」ということを証明した^[3]。以上がゲーデルの三大業績と呼ばれている。この後、ゲーデルは、連続体仮説に関する研究から身を引いた。1963年、ポール・コーエンは、「ZF公理系に選択公理と一般連続体仮説の否定を加えても無矛盾である」ということを証明し、ゲーデルの結果と合わせて、「選択公理と一般連続体仮説はZFとは独立である（したがって、証明も否定の証明もできない）」ということを示した。このとき、ゲーデルは「これは自分がなすべき仕事だった」と悔やんだと言われ、コーエンの仕事を絶賛した。その一方で、ゲーデルは「すべての数学的命題に対して、人間は真偽を判定することが可能である」と信じていたと言われる。特に、連続体仮説に関しては、その否定を信じていた。

アメリカ合衆国時代

ゲーデルは、ウィーン大学の講師を勤めたが、1940年頃にはナチス・ドイツを逃れるために、妻アデーレと共にアメリカ合衆国に移住した^[4]。ゲーデルは、米国の市民権を取得し^[5]、プリンストン高等研究所の教授となった。この研究所では、アインシュタインと家族ぐるみで親密に交流し、物理学や哲学などについて議論を交わした。その結果アインシュタインの一般相対性理論におけるゲーデル解（1949年）を生んだ。この解は、非常に奇妙な性質を示したために、アインシュタインをして自身の理論に疑問を抱かせるに至った。

この渡米の際に「新居を購入^[6]」する偽装工作を余儀なくされたために、人間不信に近い症状が出ていたようである。ゲーデルは英語を選択科目で選んだため語学の問題がなかったが、妻が英語をほとんど話せなかった^[7]ために多くのトラブルが生まれたらしい。

1948年、ゲーデルは、アメリカ市民権を取得する。このとき、保証人に名を連ねたのがアインシュタインである。当時、アメリカ市民権を取得するには、米国憲法に関する面接試験が課せられていた。そのため、ゲーデルは、合衆国憲法を一から勉強しはじめた。面接当日、ゲーデルは「合衆国憲法が独裁国家に合法的に移行する可能性を秘めていることを発見した」とアインシュタインたちに語り、彼らを当惑させた。そして、移民審査をする判事から「あなたは、独裁国家（ナチス・ドイツに併合されたオーストリア）から来られたのですね。我がアメリカ合衆国ではそのようなことは起きませんから、安心してください」と言われた際、ゲーデルは、即座に「それどころか私は、いかにしてそのようなことが起こりうるのかを証明できるのです」と答えた。そのため、その場に付き添っていたアインシュタインたちが慌てて場を取り繕うという一幕があった^[8]。

連続体仮説が偽で、ランダム性はいかなる局面においても完全に排除できることを疑わなかったため、ゲーデルの数学と論理学の研究は頭打ちになってしまった。1970年代初頭には、ポール・エルデシュからの「お前は皆の研究対象になるために数学者になったのであって、お前のライプニッツ研究のために数学者になったんじゃないんだ！^[9]」との懇願にもかかわらず、ライプニッツ研究を放棄することはできなかった。ライプニッツによる「神の存在証明」を洗練させた(ゲーデルの神の存在証明)（英語版）として知られる論文を知人に配布した。しかし、その目的が、神学論争への加担ではなく、あくまで論理学的な興味の追求にあったため、ゲーデルは、誤解を恐れて生前は公表しなかった。その中で、ゲーデルは、ライプニッツの主張について、公理系を解明しつつ様相論理の手法を用いて明確な定式化を試みた。この論文は、ゲーデルが没してから9年後の1987年にデイナ・スコットの手によって初めて出版された。

晩年は、非常に内向的となった。また、精神にも失調をきたしており、毒殺されることを恐れるあまり、妻アデーレが作った食事以外は、自分が調理した食事すら口にしなかった。その他にも、毒ガスによる暗殺を恐れたために、冬でも家の窓を開け放っていた。また、人前に出ることはほとんどなく、自宅に籠って哲学と論理学の研究を続けていた。最終的には、アデーレが病院に入院して自宅を離れていた期間に、絶食による飢餓状態となった。すぐに病院に搬送されたが、(プリンストン病院)で死去した。このとき、ゲーデルの体重は、65ポンド（約29.5kg）しかなかった。

1987年に証明された(チャイティンの定理)^[10]は、ゲーデルの信念とは正反対の結果を示していた。

彼の遺稿は、大学時代までに修得した英語、ドイツ語、および(ガベルスベルガー式速記)（ドイツ語版）と呼ばれるドイツの古い速記法で書かれている。その速記法は(ドイツ統一速記法)（ドイツ語版）に取って代わられたために淘汰され、解読が困難であることで知られている。幸い、彼が潔癖で几帳面であったため、遺稿のほぼすべてが残されている^[11]。

業績

著作集

• Gödel, Kurt (1986-1-23). Collected Works: Publications 1929-1936. I. Solomon Feferman et al.ed. (Hardcover ed.). Oxford University Press. ISBN (0-19-503964-5). http://ukcatalogue.oup.com/product/9780195039641.do 
  • Gödel, Kurt (2001-5-31). Collected Works: Publications 1929-1936. I. Solomon Feferman et al.ed. (Paperback ed.). Oxford University Press. ISBN (0-19-514720-0). http://ukcatalogue.oup.com/product/9780195147209.do 
• Gödel, Kurt (1989-11-30). Collected Works: Publications 1938-1974. II. Solomon Feferman et al.ed. (Hardcover ed.). Oxford University Press. ISBN (0-19-503972-6). http://ukcatalogue.oup.com/product/9780195039726.do 
  • Gödel, Kurt (2001-6-21). Collected Works: Publications 1938-1974. II. Solomon Feferman et al.ed. (Paperback ed.). Oxford University Press. ISBN (0-19-514721-9). http://ukcatalogue.oup.com/product/9780195147216.do 
• Gödel, Kurt (1995-3-30). Collected Works: Unpublished Essays & Lectures. III. Solomon Feferman et al.ed. (Hardcover ed.). Oxford University Press. ISBN (0-19-507255-3). http://ukcatalogue.oup.com/product/9780195072556.do 
  • Gödel, Kurt (2001-5-31). Collected Works: Unpublished Essays & Lectures. III. Solomon Feferman et al.ed. (Paperback ed.). Oxford University Press. ISBN (0-19-514722-7). http://ukcatalogue.oup.com/product/9780195147223.do 
• Gödel, Kurt (2003-6-5). Collected Works: Correspondence, A-G. IV. Solomon Feferman et al.ed. (Hardcover ed.). Oxford University Press. ISBN (0-19-850073-4). http://ukcatalogue.oup.com/product/9780198500735.do 
• Gödel, Kurt (2003-5-27). Collected Works: Correspondence, H-Z. V. Solomon Feferman et al.ed. (Hardcover ed.). Oxford University Press. ISBN (0-19-850075-0). http://ukcatalogue.oup.com/product/9780198500759.do 

著書

• 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173–98.
• The Consistency of the Continuum Hypothesis. Annals of Mathematics Sutdies. 3. (1940-9-1). Princeton University Press. (ISBN 0-691-07927-7)
• 『数学基礎論　撰出公理及び一般連続仮説の集合論公理との無矛盾性』近藤洋逸訳、伊藤書店、1946年4月。

備考

• ゲーデル・不完全性定理―"理性の限界"の発見 (ブルーバックス B-947)では、マリアンヌは17歳でクルトを生んだとあるが、これはGeorg Kreiselの1982年の文献自体のエラーの引き写しによる誤情報である^[12]。

脚注

1. ^ “Gödel’s Incompleteness Theorem”. link.springer.com. Springerlink. 2020年11月30日閲覧。
2. ^ “不完全性定理によりペアノ算術の無矛盾性は厳密には有限的に証明できない”. www2.kobe-u.ac.jp/~mkikuchi/. www2.kobe-u.ac.jp. 2021年5月8日閲覧。
3. ^ "The Consistency of the Continuum Hypothesis" (1940)
4. ^ もっとも、ゲーデルはユダヤ系ではないこともあって、ナチスに中立的な立場だったといわれる。むしろ、ゲーデルは、自分をユダヤ人と誤解してそれを理由に冷遇したオーストリア学術界に対して、強い反感を持っており、そこから離れたいという思いのほうが強かったようである。その証拠に、ゲーデルは、生前オーストリアから与えられた名誉号などをすべて辞退している。高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』（講談社現代新書、1999年、178-179頁）を参照。
5. ^ ゲーデルは市民権を得るための面接で、アメリカの憲法が独裁者の出現を防げない欠陥憲法であることを指摘したとも言われるが、政治的にはノンリベラルで躊躇なくアイゼンハワーに投票している。高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』（講談社現代新書、1999年、182頁）を参照。
6. ^ 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』（講談社現代新書、1999年、145頁）を参照。
7. ^ 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』（講談社現代新書、1999年、148頁）を参照。
8. ^ 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』（講談社現代新書、1999年、153-155頁）を参照。
9. ^ John Stillwell, Mathematics and its history, p.586, third edition, Springer Verlag. (ISBN 978-1-441-96052-8)
10. ^ “An Algorithmic God”. inference-review.com. inference-review.com. 2020年12月2日閲覧。
11. ^ 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』（講談社現代新書、1999年、197頁）を参照。
12. ^ 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』（講談社現代新書、1999年、248頁）を参照。

参考文献

• 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』（講談社現代新書、1999年）
• 吉永良正『ゲーデル・不完全性定理―"理性の限界"の発見』 (ブルーバックス B-947)
• John Stillwell, Mathematics and its history, third edition, Springer Verlag. (ISBN 978-1-441-96052-8)

関連文献

• 廣瀬健・横田一正『ゲーデルの世界――完全性定理と不完全性定理――』 海鳴社、1985年。(ISBN 4875251068)

  論文「論理学における述語計算の公理の完全性」、「『プリンキピア・マテマティカ』やその関連体系での形式的に決定不可能な命題についてI」の翻訳あり

• 『ゲーデル 不完全性定理』 林晋・八杉満利子 訳・解説、岩波書店〈岩波文庫〉、2006年。(ISBN 4003394410)

  論文「プリンキピア・マテマティカおよび関連した体系の形式的に決定不能な命題についてI」の翻訳と解説

• E.ナーゲル、J・R.ニューマン 『ゲーデルは何を証明したか――数学から超数学へ』 林一訳、白揚社、1999年。(ISBN 4826900872)
• ダグラス・ホフスタッター 『ゲーデル、エッシャー、バッハ――あるいは不思議の環 20周年記念版』 野崎昭弘・柳瀬尚紀・はやしはじめ 訳、白揚社、2005年。(ISBN 4826901259)
• ジョン・W・ドーソン Jr. 『ロジカル・ディレンマ　ゲーデルの生涯と不完全性定理』 村上祐子・塩谷賢訳、新曜社、2006年。(ISBN 4788510286)

  ゲーデルの遺稿を基にした詳細な伝記。

• レイモンド・スマリヤン 『ゲーデルの不完全性定理』 高橋昌一郎訳、丸善出版、1996年。(ISBN 978-4621042045)。改訳版2019年
• ピエール・カスー=ノゲス『ゲーデルの悪霊たち　論理学と狂気』 新谷昌宏訳、みすず書房、2020年 (ISBN 978-4622089162)
• ハオ・ワン 『ゲーデル再考 人と哲学』土屋俊・戸田山和久 訳、産業図書、1995年。(ISBN 9784782800966)

関連項目

• ゲーデル数
• ゲーデル賞
• 竹内外史

外部リンク

• O'Connor, John J; Edmund F. Robertson "Kurt Gödel". MacTutor History of Mathematics archive.
• The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalised Continuum-Hypothesis with Set Theory（Google ブックス）
• クルト・ゲーデル - Find a Grave（英語）
• Kurt Gödel （英語） - スタンフォード哲学百科事典「クルト・ゲーデル」の項目。