クリロフ＝ボゴリューボフの定理

数学におけるクリロフ＝ボゴリューボフの定理（クリロフ＝ボゴリューボフのていり、英: Krylov–Bogolyubov theorem）とは、力学系の理論に現れる関連する二つの基本定理のいずれかを指す。不変測度の存在定理（ふへんそくどのそんざいていり、英: existence of invariant measures theorem）としても知られており、ある「良質な」空間上で定義されるある「良質な」写像に対して不変測度が存在することを保証する定理である。定理の証明を与えた、ロシアおよびウクライナの数学者および理論物理学者である(ニコライ・クリロフ)（英語版）とニコライ・ボゴリューボフの名にちなむ^[1]。

定理の内容

単一の写像に対する不変測度

定理（クリロフ＝ボゴリュボフ）. (X, T) をあるコンパクト距離化可能位相空間とし、F : X → X をある連続写像とする。このとき、F はある不変なボレル確率測度を許すものである。

すなわち、X の開部分集合の集まり T によって生成されるボレル σ-代数を Borel(X) と表すとき、任意の部分集合 A ∈ Borel(X) に対して

${\displaystyle \mu \left(F^{-1}(A)\right)=\mu (A)}$ 

を満たすようなある確率測度 μ : Borel(X) → [0, 1] が存在する。(押し出し測度)（英語版）について言えば、このことは

${\displaystyle F_{*}(\mu )=\mu \ }$ 

を意味する。

マルコフ過程に対する不変測度

X をポーランド空間とし、${\displaystyle P_{t},t\geq 0,}$  を X 上の時間同次なマルコフ半群についての移動確率とする。すなわち、

${\displaystyle \Pr[X_{t}\in A|X_{0}=x]=P_{t}(x,A)}$ 

が成立する。

定理（クリロフ＝ボゴリュボフ）. ある点 ${\displaystyle x\in X}$  に対して、確率測度の族 { P_t(x, ·) | t > 0 } が一様に緊密となり、半群 (P_t) が(フェラーの性質)（英語版）を満たすなら、(P_t) に対して少なくとも一つの不変測度が存在する。すなわち、X 上の確率測度 μ で

${\displaystyle (P_{t})_{\ast }(\mu )=\mu {\mbox{ for all }}t>0}$ 

を満たすようなものが存在する。

参考文献

• For the 1st theorem: Ya. G. Sinai (Ed.) (1997): Dynamical Systems II. Ergodic Theory with Applications to Dynamical Systems and Statistical Mechanics. Berlin, New York: Springer-Verlag. (ISBN 3-540-17001-4). (Section 1).
• For the 2nd theorem: G. Da Prato and J. Zabczyk (1996): Ergodicity for Infinite Dimensional Systems. Cambridge Univ. Press. (ISBN 0-521-57900-7). (Section 3).

脚注

1. ^ N. N. Bogoliubov and N. M. Krylov (1937). “La theorie generalie de la mesure dans son application a l'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire” (French). Ann. Math. II (Annals of Mathematics) 38 (1): 65–113. doi:10.2307/1968511. JSTOR 1968511.  Zbl. 16.86.

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