キャロル数(Carol number)とは、の形をした整数である。とも表せる。小さい方から、キャロル数は
- −1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527,… (オンライン整数列大辞典の数列 (A093112))
と続く。キャロル数はCletus Emmanuelによって研究され、その友人のCarol G. Kirnonにちなんでキャロル数と名付けられた[1][2]。
二進表現
n > 2 において、n 番目のキャロル数の二進表現は、n − 2 個の連続する 1 と 0 と、n + 1 個の 1 で表される。より数学的には、
と書ける。
したがって、例えば3番目のキャロル数である47は101111、4番目のキャロル数である223は11011111などとなる。2n 番目のメルセンヌ数と n 番目のキャロル数の差は である。この性質は、キャロル数を と表現するとわかりやすい。また、n 番目のKynea数と n 番目のキャロル数の差は 2n+2 である。
キャロル素数
7を始めとして、キャロル数は3個おきに7の倍数が並ぶ。したがって、キャロル数は x > 0 において 3x + 2 番目以外で素数になりうる。キャロル数で素数であるもの（キャロル素数）には、7, 47, 223, 3967, 16127 （(A091516)）がある。
7番目のキャロル数は5番目のキャロル素数で、16127である。また、逆から数字を読んだ72161も素数であり、16127は最小のキャロルエマープである[3]。 12番目のキャロル数は7番目のキャロル素数で、16769023である。これもまたエマープである[4]。
2018年2月現在[update]知られている最大のキャロル素数は n = 695631番目のキャロル数であり、418812桁である[5][6]この素数は2016年7月にCKSieve と PrimeFormGWのプログラムを使い、Mark Rodenkirchが発見した。44番目のキャロル素数である。
一般化
b進キャロル数を、(bn − 1)2 − 2 (n > 0)と定義できる。b進キャロル数は b が偶数のときのみ素数になりうる。もしb が奇数であれば、b 進キャロル数は偶数となり、素数ではない。bn進キャロル数は、b 進キャロル数の一部である。
n ≥ 1 において {(2b)n−1}2 − 2 が素数となるのは、それぞれの b において
- 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 159, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 9, 1, 88, 2, 1, 1, 12, 4, 1, 1, 183, 1, 1, 320, 24, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 705, 2, 3, 29, 1, 1, 1, 4836, 20, 1, 135, 1, 4, 1, 6, 1, 15, 3912, 1, 2, 8, 3, 24, 1, 14, 4, 1, 2, 321, 11, 1, 174, 1, 6, 1, 42, 310, 1, 2, 27, 2, 1, 29, 3, 103, 20, ...
番目である。
| b | b進キャロル数が素数となる n (n が30000までは網羅) | OEIS |
| 2 | 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749, 185580, 226749, 248949, 253987, 520363, 653490, 688042, 695631, ... | (A091515) |
| 4 | 1, 2, 3, 5, 6, 9, 66, 162, 179, 393, 3231, 19506, 50112, 92790, 326745, 344021, ... | |
| 6 | 1, 2, 6, 7, 20, 47, 255, 274, 279, 308, 1162, 2128, 3791, 9028, 9629, 10029, 13202, 38660, 46631, 48257, 117991, ... | (A100901) |
| 8 | 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 43, 44, 53, 57, 105, 108, 131, 145, 262, 569, 2154, 4763, 13004, 33408, 58583, 61860, 75583, 82983, 217830, 231877, ... | |
| 10 | 1, 8, 21, 123, 4299, 6128, 11760, 18884, 40293, ... | (A100903) |
| 12 | 3, 29, 51, 7824, 15456, 22614, 28312, 47014, 68835, ... | |
| 14 | 1, 6, 13, 45, 74, 240, 553, 12348, 13659, 50603, ... | (A100905) |
| 16 | 1, 3, 33, 81, 9753, 25056, 46395, ... | |
| 18 | 2, 8, 30, 98, 110, 185, 912, 2514, 4074, 10208, 15123, 19395, ... | |
| 20 | 1, 2, 53, 183, 1281, 1300, 8041, 29936, 72820, ... | |
| 22 | 1, 8, 35, 88, 503, 8643, 8743, 14475, ... | (A100907) |
| 24 | 2, 27, 92, 4950, 20047, ... | |
| 26 | 159, 879, 4744, 5602, 74387, ... | |
| 28 | 1, 22, 127, 165, 2520, 6492, 6577, 22960, 25528, ... | |
| 30 | 1, 6, 19, 30, 166, 495, 769, 826, 1648, 3993, ... | |
| 32 | 2, 3, 5, 11, 35, 63, 87, 37116, 130698, ... | |
| 34 | 1, 4, 258, ... | |
| 36 | 1, 3, 10, 137, 154, 581, 1064, 4514, 6601, 19330, ... | |
| 38 | 1, 2, 13, 560, 28933, ... | |
| 40 | 4, 15, 39, 138, 2153, 4084, 5639, ... | |
| 42 | 3, 6, 14, 15, 29, 78, 195, 255, 272, 713, 2526, 4852, 10573, ... | |
| 44 | 1, 7, 30, 90, 1288, 1947, 12909, 25786, ... | |
| 46 | 12, 269, 1304, 5172, ... | |
| 48 | 1, 2, 4, 6, 12, 13, 3882, 6123, 15067, 15085, ... | |
| 50 | 1, 3, 4, 9, 31, 66, 115, 430, 1233, 2546, 2674, 6360, 53351, 69033, 69157, ... |
2018年2月現在[update]一般化したb進キャロル素数で知られている最大のものは (2695631 − 1)2 − 2 である。
参考文献
- ^ Cletus Emmanuel at Prime Pages
- ^ Message to Yahoo primenumbers group from Cletus Emmanuel
- ^ Prime Curios 16127 at Prime Pages
- ^ Prime Curios 16769023 at Prime Pages
- ^ Entry for 695631st Carol number at Prime Pages
- ^ Carol and Kynea Prime Search by Mark Rodenkirch
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Near-Square Prime". MathWorld (英語).
- Prime Database entry for Carol(695631)
- Carol and Kynea Primes
- Carol and Kynea Prime Search