エルランゲン・プログラムもしくはエアランゲン・プログラム（独: Erlanger Programm, 英: Erlangen program）とは、1872年フェリックス・クラインが23歳でエルランゲン大学の教授職に就く際、幾何学とは何か、どのように研究すべきものかを示した指針である。日本語ではエルランゲン(の)目録と表記される場合もある[1]。
概説
クラインはこの中で、幾何学を集合に対する変換群の作用によって分類し、その中で出てくる不変量（不変式）を扱うものだと定義した。例えばユークリッド幾何は合同変換で変わらない性質を扱う分野であり、射影幾何は射影変換で変わらない性質を扱う分野だ、というのである。
この考え方は数学界に大きな影響を与え、当時乱立していた各種の幾何学を近代的な視点で再統一することに成功した。クラインの定義はその後数十年の間主流であり続けたが、ただベルンハルト・リーマンが創立したリーマン幾何学とは相性が悪かった。
何故なら、クラインの定義だとリーマン計量の下では恒等変換以外に不変量を取り出せないため、全ての図形が自分自身とのみ関係することとなって、幾何学の成立する余地がなくなってしまうからである。この問題は20世紀に入り、ヘルマン・ワイルの創出したアフィン接続を契機に、アンリ・カルタンらによって両者のギャップを埋める方向に拡張された。したがって現代の幾何学も、本質的な考えはエルランゲン・プログラムの発展系であると考えてよい。
脚注
参考文献
- Klein, Felix (1893). “Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen”. Mathematische Annalen 43: pp. 63-100. (Also: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, pp. 460-497).
- ダフィット・ヒルベルト、フェリックス・クライン『幾何学の基礎/エルランゲン・プログラム』寺阪英孝・大西正男訳・解説、共立出版〈現代数学の系譜7〉、1970年。ISBN (4-320-01160-0)。