導入 複素数値の数列 {an } に対し、級数 ∑∞n =0 an が値 l に収束するとは、部分和
s n = ∑ k = 0 n a k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}} が通常の数列の収束の意味で値 l に収束することで定義される。一方、総和法では、通常の収束の意味を超えて、より広い形での級数の収束を定義する。
例えば、an = (−1)n とするグランディ級数 ∑∞n =0 (−1)n は
s 0 = 1 , s 1 = 0 , s 2 = 1 , s 3 = 0 , ⋯ {\displaystyle s_{0}=1,\,s_{1}=0,\,s_{2}=1,\,s_{3}=0,\cdots } となり、通常の意味では収束しない。ここで、x を |x | < 1 を満たす複素数とし、xn を各項 an に収束因子として乗ずると、ベキ級数
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 + ⋯ {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}=1-x+x^{2}+\cdots } は、|x | < 1 で
f ( x ) = 1 1 + x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x}}} に一様収束 する。このとき、(左極限 ) x → 1− は収束し、
lim x → 1 − f ( x ) = 1 2 {\displaystyle \lim _{x\to 1-}{f(x)}={\frac {1}{2}}} となり、級数 ∑∞n =0 (−1)n に値 1/2 を対応させることができる。
定義 複素数値の数列 {an } に対し、ベキ級数
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} が |x | < 1 で収束し、左極限が
lim x → 1 − f ( x ) = s {\displaystyle \lim _{x\to 1-}{f(x)}=s} と有限値 s になるとき、値 s にアーベル総和可能 (Abel summable) といい、
A - ∑ n = 0 ∞ a n = s {\displaystyle \operatorname {A-} \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=s} もしくは
∑ n = 0 ∞ a n = s ( A ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=s\quad \operatorname {(A)} } と記す[1] [2] 。また、このように {an } の級数を f (x ) の左極限 x → 1− で定義する総和法をアーベル総和法 と呼ぶ。
なお、f (x ) は部分和
s n = ∑ k = 0 n a k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}} によって、
f ( x ) = ( 1 − x ) ∑ n = 0 ∞ s n x n {\displaystyle f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}} とも表すことができる。したがって、f (x ) は部分和の列 {sn } に
∑ n = 0 ∞ ( 1 − x ) x n = ( 1 − x ) 1 1 − x = 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(1-x)x^{n}=(1-x){\frac {1}{1-x}}=1} を満たす因子 (1 − x )xn を乗じて、和を取っていることになる。
性質 アーベル総和法はチェザロ総和法 より強い。すなわち、チェザロ総和可能な級数はアーベル総和可能である。より一般的に k >-1 について、(C , k ) -総和可能であれば、アーベル総和可能である。
例 詳細は「」を参照
a n = ( − 1 ) n ( n + 1 ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}(n+1)\quad (n=0,1,2,\cdots )} で定義される数列 {an } に対し、
∑ n = 0 ∞ a n = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}=1-2+3-4+\cdots } は通常の意味では収束せず、またチェザロ総和法でも収束しない。一方でベキ級数
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) x n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)x^{n}} は |x | < 1 で収束し、
f ( x ) = 1 ( 1 + x ) 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}} となることから1/4にアーベル総和可能である[3] 。
拡張 (A, λn )-総和法 {λn } を
0 ≤ λ 0 < λ 1 < ⋯ < λ n < ⋯ {\displaystyle 0\leq \lambda _{0}<\lambda _{1}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots } を満たす単調増加な数列とする。ここで級数
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n exp ( − λ n x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp {(-\lambda _{n}x)}} が任意の x > 0 について収束し、かつ左極限 x → +0 が存在し、
lim x → + 0 f ( x ) = s {\displaystyle \lim _{x\to +0}f(x)=s} と有限値 s になるとき、級数 ∑∞n =0 an は s に (A , λn ) -総和可能という[1] 。 特に λn = n の場合は、アーベル総和法に一致する。
(J, pn )-総和法 アーベル総和法において、ベキ級数 f (x ) は部分和の列 {sn } によって、
f ( x ) = ( 1 − x ) ∑ n = 0 ∞ s n x n = ∑ n = 0 ∞ s n x n ∑ n = 0 ∞ x n = ∑ n = 0 ∞ p n s n x n ∑ n = 0 ∞ p n x n ( p n = 1 ) {\displaystyle f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s_{n}x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}}}\quad (p_{n}=1)} と表すことができる。より一般に、数列 {pn } が
p n ≥ 0 , ∑ k = n ∞ p k > 0 {\displaystyle p_{n}\geq 0,\quad \sum _{k=n}^{\infty }p_{k}>0} を満たし、{pn } によって定義されるベキ級数
p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ p n x n {\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}} が収束半径 r > 0 を持つとする。このとき、
p s ( x ) = ∑ n = 0 ∞ p n s n x n {\displaystyle p_{s}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s_{n}x^{n}} が 0 ≤ x < r で収束し、かつ
lim x → r − p s ( x ) p ( x ) = s {\displaystyle \lim _{x\to r-}{\frac {p_{s}(x)}{p(x)}}=s} が成り立つとき、値 s に (J , pn ) -総和可能という[1] 。
タウバー型定理 詳細は「(タウバー型定理 )」を参照
一般に級数はアーベル総和であっても、通常の意味では収束しない。すなわち、ベキ級数におけるアーベルの定理 の逆は成り立たない。しかしながら、級数にある種の条件を付与すれば、アーベルの定理の逆が成り立つことがある。そのような例として、1897年にオーストリアの数学者(アルフレッド・タウバー )が示したタウバーの定理 がある[4] 。後に英国の数学者G. H. ハーディ とJ. E. リトルウッド はタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらを(タウバー型定理 )と呼んだ[5] 。
フーリエ級数の収束 アーベル総和法はフーリエ級数 の収束の議論に応用される[3] 。f (x ) を長さ L =b −a の有界区間 (a , b ) で定義されたリーマン積分可能な複素数値関数で、かつ f (a )=f (b ) を満たす周期関数とする。このとき、f (x ) は次の形のフーリエ級数展開を持つ。
f ( x ) ∼ ∑ n = − ∞ ∞ f n ^ e 2 n π i x / L {\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f_{n}}}e^{2n\pi ix/L}} f n ^ = 1 L ∫ a b f ( x ) e − 2 n π i x / L d x {\displaystyle {\hat {f_{n}}}={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}f(x)e^{-2n\pi ix/L}dx} 第一式の右辺におけるフーリエ級数が意味を持つために収束性を考える必要がある。この級数はアーベル総和可能であり、f (x ) が連続となる点においてf (x ) に収束する。特に f (x ) が連続関数であれば、フーリエ級数はアーベル総和の意味で一様収束する。すなわち、
A r ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ r | n | f n ^ e 2 n π i x / L {\displaystyle A_{r}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}{\hat {f_{n}}}e^{2n\pi ix/L}} を導入すると、この級数は 0 ≤ r <1 で収束し、かつ f (x ) が連続となる点で左極限 r → 1 − は f (x ) に一致する。この結果の議論はポアソン核
P r ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ r | n | e 2 n π i x / L {\displaystyle P_{r}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{2n\pi ix/L}}
の性質に基づく。 (a , b ) 上で可積分な関数g (x ) 、h (x ) に対して、畳み込み積分 を
g ∗ h ( x ) = 1 L ∫ a b g ( y ) h ( x − y ) d y {\displaystyle g*h(x)={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}g(y)h(x-y)dy} で定義すると、
f ∗ P r ( x ) = A r ( x ) {\displaystyle f*P_{r}(x)=A_{r}(x)} であり、(総和核 )としてのポアソン核の性質から上述のアーベル総和に関する収束性が示される。
脚注 ^ a b c d 石黒 (1977)、第2章 ^ a b 江沢(1995)、第4章 ^ a b E. M. Stein and R. Shakarchi (2003), chapter 2 ^ A. Tauber, "Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen" , Monatshefte für Mathematik und Physik , 8 (1897), pp. 273–277. doi :10.1007/BF01696278 ^ G. H. Hardy (1949), chapter VII
参考文献 G. H. Hardy, Divergent Series , Clarendon Press (1949) Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis, Volume 1) , Princeton Univ Prress (2003) (ISBN 978-0691113845 ) 石黒一男『発散級数論』森北出版 (1977) (ISBN 978-4627031494 ) 江沢洋 『漸近解析(岩波講座 応用数学14)』岩波書店 (1995) (ISBN 4000105248 )
関連項目