アダマール正則化

アダマール正則化（アダマールせいそくか、英: Hadamard regularization）あるいはアダマールの有限部分（アダマールのゆうげんぶぶん、英: Hadamard finite part, Hadamard's partie finie）は、発散積分の発散項を取り除き有限部分を残すことで積分を(正則化)（英語版）するという、正則化の手法である。この方法は Hadamard (1923, book III, chapter I, 1932) によって導入された。 Riesz (1938, 1949) はこの手法を、収束積分の有理型接続をとることとして解釈できることを示した。

次のコーシーの主値が存在するなら、

${\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt\quad ({\hbox{for}}~~a<x<b)}$

その x に関する微分から、以下のアダマールの有限部分積分が得られる。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{t-x}}\,dt\right)={\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt\quad ({\hbox{for}}~~a<x<b).}$

ここで ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ はコーシーの主値、${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ はアダマールの有限部分をそれぞれ表す。

また、上記の a < x < b のアダマールの有限部分積分は次のようにも定義できる。

${\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt-{\frac {2f(x)}{\varepsilon }}\right\},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{b}{\frac {(t-x)^{2}f(t)}{((t-x)^{2}+\varepsilon ^{2})^{2}}}\,dt-{\frac {\pi f(x)}{2\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{2}}({\frac {1}{b-x}}-{\frac {1}{a-x}})\right\}.}$

これらの定義は、a < x < b として関数 f (t) が t = x で無限階微分可能であると見なすこと、すなわち関数 f (t) が t = x の周りでテイラー展開可能であると見なすことから導かれる^[1]。

アダマールの有限部分積分（と未知関数 f (t)）を含む積分方程式は、超特異積分方程式 (hypersingular integral equation) と呼ばれる。超特異積分方程式は破壊解析のような力学の問題を定式化する上でしばしば現れる。

脚注

1. ^ 詳細は Ang (2013) を参照。ただし Ang (2013) では 2 番目の定義式に誤植があり、右辺第 3 項が抜け落ちていることには注意。これは誤植訂正表にて訂正されている。

参考文献

• Ang, Whye-Teong (2013), Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis, Oxford: Woodhead Publishing, pp. 19-24, ISBN (978-0-85709-479-7), https://books.google.co.jp/books?id=rDGTlAEACAAJ&redir_esc=y&hl=ja .
• Blanchet, Luc; Faye, Guillaume (2000), “Hadamard regularization”, Journal of Mathematical Physics 41 (11): 7675–7714, doi:10.1063/1.1308506, ISSN 0022-2488, MR1788597, Zbl 0986.46024 .
• Hadamard, Jacques (1923), Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations, Dover Phoenix editions, Dover Publications, New York, pp. 316, ISBN (978-0-486-49549-1), JFM 49.0725.04, MR0051411, Zbl 0049.34805, https://books.google.co.jp/books?id=B25O-x21uqkC&redir_esc=y&hl=ja .
• Hadamard, J. (1932) (French), Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques, Paris: Hermann & Cie., pp. 542, Zbl 0006.20501 .
• Riesz, Marcel (1938), “Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels.” (French), Acta Litt. Ac Sient. Univ. Hung. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Math. (Szeged) 9 (1–1): 1–42, JFM 64.0476.03, Zbl 0018.40704, http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=5634&dataObjectType=article .
• Riesz, Marcel (1938), “Rectification au travail "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels"” (French), Acta Litt. Ac Sient. Univ. Hung. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Math. (Szeged) 9 (2–2): 116–118, JFM 65.1272.03, Zbl 0020.36402, http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=5667&dataObjectType=article .
• Riesz, Marcel (1949), “L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy”, Acta Mathematica 81: 1–223, doi:10.1007/BF02395016, ISSN 0001-5962, MR0030102, Zbl 0033.27601