線形力学系 （せんけいりきがくけい、英 : linear dynamical system ）とは、行列 で定義され、線形性 を持つ力学系 である。
定義 一般に R n ベクトル 値関数 x (t ) ∈ R n n 次の正方行列 A により、次のような微分方程式 で表される。
d d t x ( t ) = A x ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {x} (t)=A\mathbf {x} (t)} ただしこれは、x 連続 的に変化する場合であり、離散 系の場合には、
x m + 1 = A x m {\displaystyle \mathbf {x} _{m+1}=A\mathbf {x} _{m}} で表される。
これが線形であるとは、x (t )y (t )スカラー a, b について、線形結合 ax (t ) + by (t )
線形力学系は、多くの非線形の場合と異なり、完全に解くことができる。このとき、解は行列の指数 etA （連続系）、もしくは累乗 An （離散系）によって表現され、その振る舞いは一般的に行列 A の固有値 、固有ベクトル によって理解できる。 非線形のときでも、変数変換により線型化して解くことができることもある。また、不動点 の周りでの線形近似 は、非線形系を理解するのに役立つ（ハートマン＝グロブマンの定理 ）。
線形力学系の解 初期値 x (0) = x 0 A の固有ベクトル v k
d d t x ( t ) | t = 0 = A v k = λ k v k {\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {x} (t)\right|_{t=0}=A\mathbf {v} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {v} _{k}} となる。ただし、λk は、固有ベクトル v k
x ( t ) = v k e λ k t {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {v} _{k}\mathrm {e} ^{\lambda _{k}t}} となる。
もし A が対角化 可能ならば、任意の初期値 x 0 ak が一意に存在する。
x 0 = ∑ k = 1 n a k v k {\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mathbf {v} _{k}} このとき解は、
x ( t ) = ∑ k = 1 n a k v k e λ k t {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mathbf {v} _{k}e^{\lambda _{k}t}} となる。
対角化不可能な場合でも一般に行列の指数関数 を用いて
x ( t ) = e t A x 0 ( e t A = ∑ n = 0 ∞ t n n ! A n ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{tA}\mathbf {x} _{0}\quad {\biggl (}e^{tA}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A^{n}{\biggr )}} と、解を導くことができる。
二次元の場合 二次元の線形力学系は、
d d t ( x y ) = A ( x y ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}} で表される。この系では、A は 2 次正方行列 である。A の固有値は、行列式 Δ と、トレース τ を用いて、
λ 1 = τ + τ 2 − 4 Δ 2 {\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}} λ 2 = τ − τ 2 − 4 Δ 2 {\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}} のように書くことができる。
また、 Δ = λ 1 λ 2 {\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}} τ = λ 1 + λ 2 {\displaystyle \tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}}
もし、 Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} 原点 は、鞍点 saddle point ) となる。
Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} 平衡点 ではない。
Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} τ < 0 {\displaystyle \tau <0} τ = 0 {\displaystyle \tau =0} 中立安定 τ > 0 {\displaystyle \tau >0} 節点 (node ) となる。ただし、二つの固有値が同じときには対角化可能なときスター 、不可能なとき退化節点 (degenerate node ) となる。最後に複素数のときは、渦状点 (spiral ) となる。
参考文献
関連項目 ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム。
