複素平面 z から複素平面 w への写像である関数 w = f (z ) について、正則関数 は等角写像である。逆命題も成り立つ[2]
関数 f によって点 z 0 とその近傍にある2点 z 1 , z 2 が点 w 0 とその近傍にある2点 w 1 , w 2 に写像されるとき、f が正則ならば
lim z 1 → z 0 w 1 − w 0 z 1 − z 0 = lim z 2 → z 0 w 2 − w 0 z 2 − z 0 = f ′ ( z 0 ) . . . ( 1 ) {\displaystyle \lim _{z_{1}\to z_{0}}{\frac {w_{1}-w_{0}}{z_{1}-z_{0}}}=\lim _{z_{2}\to z_{0}}{\frac {w_{2}-w_{0}}{z_{2}-z_{0}}}=f'(z_{0})...(1)} ここで z 0 = | z 0 | exp ( i arg ( z 0 ) ) {\displaystyle z_{0}=|z_{0}|\exp(i\arg(z_{0}))\,\!}
lim | w 1 − w 0 | | w 2 − w 0 | e i arg ( w 1 − w 2 ) = lim | z 1 − z 0 | | z 2 − z 0 | e i arg ( z 1 − z 2 ) {\displaystyle \lim {\frac {|w_{1}-w_{0}|}{|w_{2}-w_{0}|}}e^{i\arg(w_{1}-w_{2})}=\lim {\frac {|z_{1}-z_{0}|}{|z_{2}-z_{0}|}}e^{i\arg(z_{1}-z_{2})}} この式の偏角をとれば
lim arg ( w 1 − w 2 ) = lim arg ( z 1 − z 2 ) {\displaystyle \lim \arg(w_{1}-w_{2})=\lim \arg(z_{1}-z_{2})} すなわち、全ての正則関数による写像は微小な角を保存する。また、(1) の絶対値は
| d w d z | = | f ′ ( z ) | {\displaystyle \left|{\frac {dw}{dz}}\right|=|f'(z)|} であり、これは微小線分の拡大率がその方向によらないことを示している。
地図投影法 のうち等角写像であるものが正角図法 と呼ばれる。
球面の場合 球面からの投影法は通常は球座標から地図上の座標への写像 m : ( φ , λ ) → ( x , y ) {\displaystyle m:(\varphi ,\lambda )\to (x,y)}
( ∂ x ∂ φ 1 cos φ ∂ x ∂ λ ∂ y ∂ φ 1 cos φ ∂ y ∂ λ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\frac {1}{\cos \varphi }}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}\\{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\frac {1}{\cos \varphi }}{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\\\end{pmatrix}}} が回転行列のスカラー倍となるものが等角写像である。
冒頭の定義との関係では、球面に任意の点で接する接平面に直交座標系 ( ξ , η ) {\displaystyle (\xi ,\eta )\,\!} f : ( ξ , η ) → ( x , y ) {\displaystyle f:(\xi ,\eta )\to (x,y)} g : ( ξ , η ) → ( φ , λ ) {\displaystyle g:(\xi ,\eta )\to (\varphi ,\lambda )} m {\displaystyle m\,\!}
J f = J m J g = ( ∂ x ∂ λ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ λ ∂ y ∂ φ ) ( ∂ λ ∂ ξ ∂ λ ∂ η ∂ φ ∂ ξ ∂ φ ∂ η ) = ( ∂ x ∂ λ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ λ ∂ y ∂ φ ) ( 1 a cos φ 0 0 1 a ) {\displaystyle J_{f}=J_{m}J_{g}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \lambda }{\partial \xi }}&{\frac {\partial \lambda }{\partial \eta }}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial \xi }}&{\frac {\partial \varphi }{\partial \eta }}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{a\cos \varphi }}&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}}} として得られる。
回転楕円体から球への等角写像 回転楕円体 （扁球 ）からの投影法についても同様にして等角写像を定義することができるが、投影法の表式に楕円積分 を含むこととなり、解析的に求めることが難しい場合があるので、かつては既に知られた回転楕円体から球面への等角写像によって回転楕円体上の地物を球面に写像した後、球面からの正角図法で地図に投影することが行われた（二重投影）。
最も簡単なものは経度 を変えないもので、地球楕円体 の離心率 を e {\displaystyle e\,\!} 地理緯度 ) φ {\displaystyle \varphi \,\!} 正角緯度 )） χ {\displaystyle \chi \,\!}
χ = gd ( gd − 1 ( φ ) − e tanh − 1 ( e sin φ ) ) {\displaystyle \chi =\operatorname {gd} \left(\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right)} ただし、 gd ( x ) {\displaystyle \operatorname {gd} (x)} グーデルマン関数 であり、 gd − 1 ( x ) {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}(x)} 逆関数 を表す。
もうひとつの方法は経度方向に拡大を行う（つまり全球を写像すると重なりが出てしまう）代わりに緯度方向の縮尺 の変化を抑えようとしたものである。投影しようとする範囲の中心地点の地理緯度を φ 0 {\displaystyle \varphi _{0}\,\!} λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}\,\!} 微分係数 を0とする条件を課したとき、地球楕円体上の点 P ( φ , λ ) {\displaystyle P(\varphi ,\lambda )\,\!} P ′ ( Φ , Λ ) {\displaystyle P'(\Phi ,\Lambda )\,\!} [3]
Φ = gd ( α { gd − 1 ( φ ) − gd − 1 ( φ 0 ) − e tanh − 1 ( e sin φ ) + e tanh − 1 ( e sin φ 0 ) } + tanh − 1 ( sin φ 0 α ) ) Λ = α ( λ − λ 0 ) α = 1 + e 2 cos 4 φ 0 1 − e 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &=\operatorname {gd} \left(\alpha \left\{\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi )-\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi _{0})-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )+e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi _{0})\right\}+\tanh ^{-1}\left({\frac {\sin \varphi _{0}}{\alpha }}\right)\right)\\\Lambda &=\alpha (\lambda -\lambda _{0})\\\alpha &={\sqrt {1+{\frac {e^{2}\cos ^{4}\varphi _{0}}{1-e^{2}}}}}\\\end{aligned}}} この投影法はガウス 正角二重投影 (Gauss conformal double projection) と呼ばれ、戦前の日本においてもこの方法により平面直角座標系（旧座標系）が形成されていた。
回転楕円体から平面への等角写像 このうち最も重要なもののひとつは、投影しようとする範囲の中心地点を通る子午線 （中央子午線）の子午線弧 長を保存するものである。これは、今日ではガウス・クリューゲル図法 と呼ばれるもの[4] 平面直角座標系 （平成14年 国土交通省 告示 第9号）[1] にも採用されている。
かつて日本で一般的に用いられていた方法は、中央子午線からの経度差が小さい範囲に限って当該差について冪級数 展開したもの[3] 扁平率 のみを係数に含む冪級数展開により表されるもの[5] 公共測量 における作業規程の準則[2] において、また国土地理院 が提供する測量計算サイト[3] においても採用されることとなった[4] , [5] 。
地球表面全体を完全に投影するには、ヤコビの楕円函数 を駆使した表式[6]
