立方根

立方根（りっぽうこん、cubic root、root of third power）とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根（さんじょうこん）ともいう。

定義

積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x³ を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立（かいりゅう）という。

a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}$  と表す。

性質

• 正の数 ${\displaystyle a}$  に対して、

  ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-a}}=-{\sqrt[{3}]{a}}.}$ 

• ${\displaystyle 1}$  の虚立方根の一つを ${\displaystyle \omega }$  とすると、もう一つの虚立方根は ${\displaystyle \omega ^{2}}$  であり、${\displaystyle \omega }$ , ${\displaystyle \omega ^{2}}$  はともに 1 の原始冪根である。また、${\displaystyle 1+\omega +\omega ^{2}=0}$  が成り立つ。

${\displaystyle 1,\quad \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad \omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i={\overline {\omega }}.}$ 

${\displaystyle \omega =\exp \left(i\cdot \left({\frac {2\pi }{3}}+2k\pi \right)\right),\quad \omega ^{2}=\exp \left(i\cdot \left({\frac {4\pi }{3}}+2k\pi \right)\right),\quad {\overline {\omega }}=\exp \left(i\cdot \left({\frac {-2\pi }{3}}+2k\pi \right)\right).}$ 

${\displaystyle \omega +1=\exp \left(i\cdot \left({\frac {\pi }{3}}+2k\pi \right)\right)=-\omega ^{2},\quad {\overline {\omega }}+1=\exp \left(i\cdot \left({\frac {-\pi }{3}}+2k\pi \right)\right)=-\omega .}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\omega ^{2},\quad {\frac {1}{\omega ^{2}}}=\omega .}$ 

• ${\displaystyle \alpha }$  が ${\displaystyle 0}$  でない複素数ならば、${\displaystyle \alpha }$  の立方根は常に 3 個あり、それらは(複素数平面)上で、原点 ${\displaystyle O}$  を中心とする半径 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{|\alpha |}}}$  の円に内接する正三角形の頂点になる。

具体的な数

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1.2599210498\cdots }$ (オンライン整数列大辞典の数列 (A002580))
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3}}=1.4422495703\cdots }$ (オンライン整数列大辞典の数列 (A002581))
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4}}=1.5874010519\cdots }$ (オンライン整数列大辞典の数列 (A005480))
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}=1.7099759466\cdots }$ (オンライン整数列大辞典の数列 (A005481))
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{6}}=1.8171205928\cdots }$ (オンライン整数列大辞典の数列 (A005486))
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{7}}=1.9129311827\cdots }$ (オンライン整数列大辞典の数列 (A005482))
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$ 
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{9}}=2.0800838230\cdots }$ (オンライン整数列大辞典の数列 (A010581))
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{10}}=2.15443469003}$ 

複素数

 

複素数の冪根の幾何学的表現

複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とする。

${\displaystyle z^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {z}\right).}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{9}}=2.0800838230\cdots }$ 

極形式では

${\displaystyle z=r\exp(i\theta )\,}$ 

ここで rは非負の実数、${\displaystyle \theta }$ の定義域は以下とする（偏角は多価関数のため）。

${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$ ,

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}$ 

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}$  は ${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}i}$ （${\displaystyle ={\sqrt[{3}]{8}}e^{\frac {\pi i}{3}}}$ ） が主要根となる（-2（${\displaystyle =(1+{\sqrt {3}}i)e^{\frac {2\pi i}{3}}}$ ）ではない）。

主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。

${\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}<{\frac {\theta }{3}}\leq {\frac {\pi }{3}}}$ 

単位円での例

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}}$ と${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-z}}}$ の主要根の関係を単位円上で示すと（${\displaystyle \Im (z)\geq 0}$ 、偏角 ${\displaystyle \theta =21^{\circ }}$  の例）

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{\cos 21^{\circ }+i\sin 21^{\circ }}}=\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ }}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{-z}}={\sqrt[{3}]{-\cos 21^{\circ }-i\sin 21^{\circ }}}=&{\sqrt[{3}]{\cos(-159^{\circ })+i\sin(-159^{\circ })}}\\=&\cos(-53^{\circ })+i\sin(-53^{\circ })\\=&-\omega (\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ })\end{aligned}}}$ 

脚注

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関連項目

• 立方数
• 平方数
• 冪根
• 平方根
• 代数的数
• 定規とコンパスによる作図
  • 立方体倍積問題（三大作図問題）
• 折紙の数学
• 折り紙公理
• 根号 U+221B ∛

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Cube Root". MathWorld (英語).