関数 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} 実数 の領域で定義された関数とし[4] x 0 {\displaystyle x_{0}} f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
関数列 { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} 漸近関数列 という。
φ n + 1 ( x ) = o ( φ n ( x ) ) ( x → x 0 ) ( n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ (x\to x_{0})\ \ \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ldots )} 実数列 { a n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} n に対し
f ( x ) − ∑ k = 0 n a k φ k ( x ) = o ( φ n ( x ) ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ \ \ (x\to x_{0})}
が成立するとき、
∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}
を f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} 漸近級数 といい、
f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}
と表す。
さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数 または狭義の漸近級数 という[5]
任意の正整数 n 、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} x に対して | f ( x ) − ∑ k = 0 n a k φ k ( x ) | < | a n + 1 φ n + 1 ( x ) | {\displaystyle \left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)\right|<|a_{n+1}\varphi _{n+1}(x)|} が成立する。 漸近関数列が { ( x − x 0 ) n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{(x-x_{0})^{n}\}_{n\geq 0}} ( | x 0 | < ∞ ) {\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|<\infty )} { x − n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{x^{-n}\}_{n\geq 0}} ( | x 0 | = ∞ ) {\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|=\infty )} 漸近冪級数 という。
与えられた漸近関数列を用いて、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} 漸近展開 といい、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)} f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}
を持つという。
一意性 任意の関数 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
1 / ( x − 1 ) ∼ ∑ k = 1 ∞ x − k ( x → ∞ ) {\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }x^{-k}\ \ \ \ (x\to \infty )} 1 / ( x − 1 ) ∼ ∑ k = 1 ∞ ( x 2 + x + 1 ) x − 3 k ( x → ∞ ) {\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }(x^{2}+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to \infty )} しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。
さらに、漸近級数の各係数は
a 0 = lim x → x 0 f ( x ) , a n = lim x → x 0 f ( x ) − ∑ k = 0 n − 1 a k φ k ( x ) φ n ( x ) ( n ≥ 1 ) {\displaystyle a_{0}=\lim _{x\to x_{0}}f(x),\ \ \ \ \ a_{n}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\varphi _{k}(x)}{\varphi _{n}(x)}}\ \ \ (n\geq 1)}
で与えられる。
和と積 点 x 0 {\displaystyle x_{0}} f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x),\ g(x)} { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}}
f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) g ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ b k φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ \ \ g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
を持つとする。このとき、任意の α、β に対して
α f ( x ) + β g ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ ( α a k + β b k ) φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle \alpha f(x)+\beta g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立する。
さらに、漸近関数列が { φ ( x ) n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi (x)^{n}\}_{n\geq 0}} ( φ ( x ) → ∞ ( x → x 0 ) ) {\displaystyle \scriptstyle (\varphi (x)\to \infty \ (x\to x_{0}))}
f ( x ) g ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ c n φ ( x ) n ( c n = ∑ k = 0 n a k b n − k ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)g(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi (x)^{n}\ \ \ (c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立する。
項別微分 一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分 した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。 項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。
漸近関数列 { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} n に対して、 x 0 {\displaystyle x_{0}} { φ n ′ ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}}
f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} x 0 {\displaystyle x_{0}}
f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
となる漸近展開を持ち、 f ′ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f'(x)\!} { φ n ′ ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}}
f ′ ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ′ ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f'(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi '_{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立する。
項別積分 | x 0 | < ∞ {\displaystyle \scriptstyle |x_{0}|<\infty } f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}
f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
とする。定積分
Φ n ( x ) = ∫ x 0 x φ n ( t ) d t {\displaystyle \Phi _{n}(x)=\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{n}(t)dt}
が各 n に対して存在するならば、
F ( x ) = ∫ x 0 x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}
が存在して、
F ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k Φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle F(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\Phi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立する。
x 0 = ∞ {\displaystyle \scriptstyle x_{0}=\infty }
f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k x k ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{x^{k}}}\ \ \ (x\to \infty )}
を持つ場合、
∫ x ∞ ( f ( t ) − a 0 − a 1 t ) d t ∼ ∑ k = 2 ∞ a k ( k − 1 ) x k − 1 ( x → ∞ ) {\displaystyle \int _{x}^{\infty }\left(f(t)-a_{0}-{\frac {a_{1}}{t}}\right)dt\sim \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {a_{k}}{(k-1)x^{k-1}}}\ \ \ (x\to \infty )}
とする必要がある。
スターリングの公式の一般化 ガンマ関数 は
Γ ( x + 1 ) ∼ 2 π x ( x e ) x ( 1 + 1 12 x + 1 288 x 2 − 139 51840 x 3 − ⋯ ) ( x → ∞ ) {\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}
という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗 の漸近展開を与え、スターリングの公式 よりも精密な近似級数になっている[6]
合流型超幾何関数 合流型(超幾何関数 ) (en:confluent hypergeometric function):
1 F 1 ( α ; γ ; z ) := ∑ n = 0 ∞ ( α ) n ( γ ) n n ! z n , z ∈ C {\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{n}}{(\gamma )_{n}\;n!}}z^{n},\quad z\in \mathbb {C} } は次の漸近展開を持つ[7] [8] [9]
1 F 1 ( α ; γ ; z ) ∼ Γ ( γ ) Γ ( γ − α ) ( exp ( − i π ) z ) − α [ 1 + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( α ) k ( α − γ + 1 ) k k ! 1 z k ] + Γ ( γ ) Γ ( α ) exp ( z ) z α − γ [ 1 + ∑ k = 1 ∞ ( γ − α ) k ( 1 − α ) k k ! 1 z k ] , − π 2 < arg ( z ) < 3 π 2 , | z | → ∞ . {\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .} arg {\displaystyle \arg } 複素数の偏角 であり、 ( α ) k {\displaystyle (\alpha )_{k}} ポッホハマー記号 [10]
誤差関数 誤差関数
erfc ( x ) = 2 π ∫ x ∞ e − t 2 d t {\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}dt}
は、以下の様な漸近展開を持つ[11]
erfc ( x ) ∼ e − x 2 π x ( 1 − 1 2 x 2 + 1 ⋅ 3 2 2 x 4 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 3 x 6 + ⋯ ) ( x → ∞ ) {\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\sim {\frac {e^{-x^{2}}}{{\sqrt {\pi }}x}}\left(\ 1-{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1\cdot 3}{2^{2}x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2^{3}x^{6}}}+\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}
指数積分 指数積分
Ei ( x ) = ∫ x ∞ e x − t t d t {\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{x-t}}{t}}dt}
の漸近展開は、
Ei ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! x n + 1 ( x → ∞ ) {\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}
で与えられる。
ラプラス変換 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} ラプラス変換
F ( x ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − x t d t {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-xt}dt}
の漸近展開は、
F ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) 1 x n + 1 ( x → ∞ ) {\displaystyle F(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0){\frac {1}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}
で与えられる。
微分方程式の解 微分方程式
x 2 y ″ + ( 3 x + 1 ) y ′ + y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+(3x+1)y'+y=0\!}
の解は
y ( x ) = ∫ 0 ∞ e − t 1 + x t d t {\displaystyle y(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+xt}}dt}
で与えられ、
y ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! x n ( x → 0 ) {\displaystyle y(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}\ \ \ \ (x\to 0)}
という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の x ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle x\neq 0} [12]
求積法 等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。
調和級数 調和級数 は
H n ∼ ln n + γ + 1 2 n − ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k n 2 k = ln n + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − ⋯ , {\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,} という漸近展開を持つ[13] γ {\displaystyle \gamma } オイラー・マスケローニ定数 、 B k {\displaystyle B_{k}} ベルヌーイ数 である。
