正多角形

正多角形（せいたかっけい、せいたかくけい、regular polygon）とは、全ての辺の長さが等しく、全ての(内角)の大きさが等しい多角形である。なお、この記事では $n$ は $n\in \mathbb {R}$ を満たす数とする。

様々な正多角形。（左上から）正三角形、正四角形（正方形）、正五角形、正六角形、正七角形...

正多角形は線対称の図形であり、正 n 角形に対称軸は n 本ある。また、正偶数角形は点対称の図形でもある。

辺の数が同じ正多角形どうしは全て互いに相似である。

ユークリッド幾何学

「ユークリッド幾何学」を参照

緑の線分は正n角形をn等分してできた三角形の高さ

正多角形のすべての頂点は一つの円周上にある。つまり正多角形は円に内接する。最も角の数が少ないのは正三角形である。三角形では、すべての辺の長さが等しいもの、またはすべての角の大きさが等しいは必ず正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さがすべて等しく、なおかつ角の大きさがすべて等しいものでなければ正多角形とはならない。例えば四角形では辺の長さがすべて等しいものは菱形、角の大きさがすべて等しいものは長方形であって必ずしも正四角形（正方形）にはならない。菱形でありなおかつ長方形でもある四角形が正方形である。

度数法における正 n 角形の一つの内角の大きさは

{\frac {180(n-2)}{n}}

である。どの内角も180°よりは小さいので、すべての正多角形は凸多角形である。

正 n 角形の面積は一辺を a とすると

{na^{2} \over 4}\cot {\pi \over {n}}

と求められる。

この式は、正 n 角形の外心から、各頂点に向けて、線分を引き、n 個の二等辺三角形に分割することで容易に証明できる。(それぞれの二等辺三角形の高さが ${a \over 2}\cot {\pi \over {n}}$ となる。)

ある適当な多角形Fがあって、その多角形Fの辺上に頂点があって、なおかつそれらを結んでできる多角形がもとの多角形Fの内部にあるとき、その多角形は多角形Fに内接するといい、逆に、多角形Fの頂点に接する直線を辺として持ち、Fの外部にあるような多角形は多角形Fに外接するという。 (例)：正六角形ABCDEFがあって、辺AB,CD,EFの中点を頂点とする三角形PQRは正六角形ABCDEFに内接する図形である。

以上のことを踏まえたうえで、一辺の長さが a である正 n 角形Fに相似である多角形のうち、Fに内接する、最も面積の小さいものの面積s、Fに外接する、最も面積の大きいものの面積Sはそれぞれ、

$s={na^{2} \over 4}\cot {\pi \over {n}}\cos ^{2}{\pi \over {n}}$

$S={na^{2} \over 2\sin {2\pi \over {n}}}$

と表される。^{[疑問点 – ]}。

正多角形の重心は最長の対角線どうしの交点（正 2n 角形に限る）や外接円および内接円の中心に一致する。

正多角形は、角（辺）の数が増えるごとに円に近づいていくので、「周の長さ÷外接円の直径」を角の数が多い正多角形で計算すると、円周率に近づいていく。これは、初期の円周率の求め方で、円周率の歴史上の始まりに位置する。

また、上記のことを言い換えると「正多角形の極限は円になる」ということになる。これはつまり、「正∞角形を円とする」ということである。このような見方をする場合も増えている。

正偶数角形（正 2n 角形）の n 組の対辺はすべて平行であるが、正奇数角形ではどの2辺も平行にはならない。

内角の和の求め方

※多角形は n 角形とする三角形の内角の和180°をもとにし式を立てると 180× n 角形となるがそうすると四角形の内角の和が720°となってしまうので次のように変える 180×( n 角形-2) とすることで内角の和を求められる｡

対角線の長さ

一辺の長さが a の正 n 角形の、任意の点から m 番目に近い点までの距離は、

{a\sin {m\pi \over {n}} \over {\sin {\pi \over {n}}}}

である。

この時、m が 1 であれば、辺の長さ、m が 2 であれば、一番短い対角線の長さを表す。

コンパスと定規を用いて描けるもの

「定規とコンパスによる作図」を参照

角の数が素数 p のものを正p角形と呼ぶ。正p角形のうち、作図可能なものは、角（辺）の数 p が(フェルマー素数) (3、5、17、257、65537) である場合のみであり、それぞれ正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形である。角の数が素数でないものについては、その数を素因数分解した時に奇数の因数がフェルマー素数のみでかつ、同じものが存在しない場合、または奇数の因数が存在しない（2の累乗数）場合のみ作図することが可能である。

例：正方形は、奇数の因数がないので (4=2×2) 作図することができる。正六角形や正十五角形は、奇数の因数がフェルマー素数のみなので (6=2×3、15=3×5) 作図する事ができる。正九角形は、奇数の因数はフェルマー素数のみだが同じ数の重複があるので (9=3×3) 作図できない。

正十七角形の作図可能性は、1796年3月30日にカール・フリードリヒ・ガウスが発見した。さらにガウスは1801年に出版したDisquisitiones Arithmeticae（『ガウス整数論』）の第365条、第366条において、作図できる正多角形の必要十分条件も示している。

作図可能の比較

正多角形（正三十二角形までで）が作図可能かどうかを以下に示す。なお、〇は作図可能、×は作図不可能を示す。

正多角形	定規とコンパスによる作図	折紙による作図	ネウシス作図 (Neusis )	備考
正三角形	〇	〇	〇
正四角形	〇	〇	〇
正五角形	〇	〇	〇
正六角形	〇	〇	〇
正七角形	×	〇	〇	ピアポント素数も参照のこと。
正八角形	〇	〇	〇
正九角形	×	〇	〇
正十角形	〇	〇	〇
正十一角形	×	×	×→〇^[1]	折り紙は1回ずつ折る方法だが、3重折りを許せば折り紙で作図可能^[2]。2重折りで作図可能^[3]。
正十二角形	〇	〇	〇
正十三角形	×	〇	〇
正十四角形	×	〇	〇
正十五角形	〇	〇	〇
正十六角形	〇	〇	〇
正十七角形	〇	〇	〇	フェルマー素数も参照のこと。
正十八角形	×	〇	〇
正十九角形	×	〇	〇
正二十角形	〇	〇	〇
正二十一角形	×	〇	〇
正二十二角形	×	×	×→〇^[1]
正二十三角形	×	×	×
正二十四角形	〇	〇	〇
正二十五角形	×	×	未解決問題
正二十六角形	×	〇	〇
正二十七角形	×	〇	〇
正二十八角形	×	〇	〇
正二十九角形	×	×	×
正三十角形	〇	〇	〇
正三十一角形	×	×	未解決問題
正三十二角形	〇	〇	〇
正三十三角形	×	×	×→〇
正三十四角形	〇	〇	〇
正三十五角形	×	〇	〇
正三十六角形	×	〇	〇
正三十七角形	×	〇	〇
正三十八角形	×	〇	〇
正三十九角形	×	〇	〇
正四十角形	〇	〇	〇

正p角形（pは3以上の素数）、正(2n+1)角形の作図に必要な値 cos(2π/(2n+1)) は、n次方程式の解として求められる。^[4]


n	2n+1	方程式の次数	方程式の次数（素因数分解）	定規とコンパス作図	折り紙作図
1	正3角形	1次方程式	1次方程式	〇	〇
2	正5角形	2次方程式	2次方程式	〇	〇
3	正7角形	3次方程式	3次方程式	×	〇
5	正11角形	5次方程式	5次方程式	×	×
6	正13角形	6次方程式	(2×3)次方程式	×	〇
8	正17角形	8次方程式	(2×2×2)次方程式	〇	〇

楕円幾何学

「楕円幾何学」を参照

もっとも角が少ないのは正二角形である。二角形は必ず正二角形になる。

この幾何学上の正三角形は、内角の和は180°より大きく、ユークリッド幾何学上のルーローの三角形と同じ図形である。

双曲幾何学

「双曲幾何学」を参照

もっとも角が少ないのは正三角形であり、内角の和は180°より小さい。

脚注

[脚注の使い方]

^ ^a ^b On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass
^ 西村保三, 山本一海「折り紙による5次方程式の解法 : 3重折りによる5乗根,角の5等分,正11角形の作図」『福井大学教育地域科学部紀要』第3号、福井大学教育地域科学部、2012年、59-66頁、ISSN 2185-369X、NAID 110009552129。
^ Lucero, J. C. (2018). “Construction of a regular hendecagon by two-fold origami”. Crux Mathematicorum 44: 207-213. https://cms.math.ca/crux/v44/n5/.
^ 折り紙で正十三角形が作図できて正十一角形が作図できない理由【数学解説 / #豊穣ミノリ / VTuber】

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