散乱振幅

散乱振幅（さんらんしんぷく、英語: scattering amplitude^[1]）は、量子力学の散乱理論において、定常状態の散乱過程での入射平面波に対する、外向き球面波の振幅である^[2] 。

定義

散乱過程が定常的であると見なせる場合(弾性散乱など)を考える． 散乱状態の波動関数は、入射平面波と外向き球面波の重ね合わせであると考える。

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}}$ 

ここで、 ${\displaystyle \mathbf {r} \equiv \{x,y,z\}}$ はベクトル座標、 ${\displaystyle r\equiv |\mathbf {r} |}$ はベクトル${\displaystyle \mathbf {r} }$ の長さ、 ${\displaystyle e^{ikz}\ }$  は${\displaystyle z\ }$ 軸方向に入射した波数ベクトル ${\displaystyle k\ }$ の平面波、 ${\displaystyle e^{ikr}/r\ }$  は外向き球面波、${\displaystyle \theta \ }$  は(散乱角)、${\displaystyle f(\theta )\ }$  は散乱振幅である。

性質

散乱振幅の次元は長さである。

微分散乱断面積は、以下で表される。

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}}$ 

低エネルギー領域では、散乱振幅は散乱長によって決定される。

部分波展開

部分波展開では、散乱振幅は、部分波の和として表される^[3]。

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)f_{l}(k)P_{l}(\cos(\theta ))}$ 

ここで${\displaystyle P_{l}(\cos(\theta ))\ }$ はルジャンドル多項式、${\displaystyle f_{l}(k)\ }$ は部分振幅と呼ばれる。

部分振幅はS行列要素${\displaystyle S_{l}=e^{2i\delta _{l}}}$ と散乱による位相のずれ${\displaystyle \delta _{l}\ }$ を用いて、以下のように表現できる。

${\displaystyle f_{l}={\frac {S_{l}-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{l}}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{l}-ik}}}$ 

X線

X線の散乱長は、トムソン散乱長もしくは古典電子半径 ${\displaystyle r_{0}}$  である。

中性子

中性子散乱過程は、${\displaystyle b}$  で記述されるコヒーレント中性子散乱長を含んでいる。

量子力学的形式

量子力学的アプローチは、S行列形式で行う。

脚注

1. ^ 文部省、日本物理学会編『学術用語集 物理学編』培風館、1990年。ISBN (4-563-02195-4)。http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi。 ^[]
2. ^ Quantum Mechanics: Concepts and Applications By Nouredine Zettili, 2nd editon, page 623. (ISBN 978-0-470-02679-3) Paperback 688 pages January 2009, ©2008
3. ^ Michael Fowler/ 1/17/08 Plane Waves and Partial Waves

関連項目

• 散乱理論