対称差

数学において、2 つの集合 $A$ と $B$ との対称差（たいしょうさ、英: symmetric difference^[1]）とは、“ $A$ に属し、 $B$ に属さないもの” と “ $B$ に属し、 $A$ に属さないもの” とを全部集めて得られる集合である^[2]。一般に、集合 $A$ と $B$ との対称差を、記号

ベン図による対称差の表現

~(A\triangle B)\triangle C

のベン図

~\triangle ~

~=~

$A △ B$ ^[2] あるいは $A ⊖ B$ あるいは $A \oplus B$

などで表す。例えば、 ${1, 2, 3}$ と ${3, 4}$ との対称差は ${1, 2, 4}$ に等しい： ${1, 2, 3}△{3, 4} = {1, 2, 4}$ 。

任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 $△$ を算法としてアーベル群となる^[3]。空集合 $\emptyset$ はその群の単位元であり、その群の任意の元はその元自身の逆元である。また、任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 $△$ を加法とし共通部分 $\cap$ を乗法とするとき、ブール環となる^[4]。

性質

対称差は、和集合と差集合の記号を用いて次のように表すことができる^[2]：

$A △ B = (A - B)\cup(B - A)$ 。

$X$ を 1 つの集合とし、 $A, B$ を $X$ の 2 つの部分集合とする。集合 ${0, 1}$ における二項演算として排他的論理和 $\oplus : {0, 1} \times {0, 1}$ → ${0, 1}$ を定義すれば、 $X$ における指示関数に関して次が成り立つ： $X$ の任意の元 $x$ に対して

$χ A △ B (x) = χ A (x) \oplus χ B (x)$ 。

アイバーソンの記法を用いれば次のようにも書ける：

$[x \in A △ B] = [x \in A] \oplus [x \in B]$ 。

対称差はまた、和集合、差集合、共通部分の記号を用いて次のように表すことができる^[2]：

$A △ B = (A \cup B)-(A \cap B)$ 。

特に、 $A △ B$ は $A \cup B$ の部分集合である： $A △ B \subset A \cup B$ 。また、 $A$ と $B$ とが互いに素であるときかつそのときに限り $A △ B = A \cup B$ である。さらには、 $A △ B$ と $A \cap B$ とは互いに素であって、集合 ${A △ B, A \cap B}$ は $A \cup B$ の 1 つの分割である。従って、対称差と共通部分とを最初に定義しておき、それらの記号を用いて、式

$A \cup B = (A △ B)△(A \cap B)$

によって和集合を定義することもできる。

代数学的な性質

対称差について、次の 4 つが成り立つ^[2]：

$(A △ B)△ C = A △(B △ C)$ （結合法則）、
$A △\emptyset = \emptyset△ A = A$ 、
$A △ A = \emptyset$ 、
$A △ B = B △ A$ （交換法則）。

$X$ を 1 つの集合とし、 $P(X)$ を $X$ の冪集合とする。 $P(X) \times P(X)$ の元 $(A, B)$ に $P(X)$ の元 $A △ B$ を対応させれば、 $P(X)$ における 1 つの二項算法が得られる。上の 4 つの性質から、その算法に関して $P(X)$ はアーベル群となる。空集合 $\emptyset$ はその群の単位元である。 $P(X)$ の任意の元 $A$ に対して $A$ は $A$ の逆元であるから、 $P(X)$ はブール群でもある。 $X$ がちょうど 2 個の元から成る集合であるならば、その可換群 $P(X)$ はクラインの四元群 $Z 2 \times Z 2$ ^{[注釈 1]} と同型である。

共通部分は対称差に対して分配法則を満たす^[2]：

$A \cap(B △ C) = (A \cap B)△(A \cap C)$ 。

よって、 $X$ を 1 つの集合とするとき、 $P(X) \times P(X)$ の元 $(A, B)$ に $P(X)$ の元 $A △ B$ を対応させて得られる二項算法を加法とし、 $P(X) \times P(X)$ の元 $(A, B)$ に $P(X)$ の元 $A \cap B$ を対応させて得られる二項算法を乗法とすれば、 $P(X)$ は環となる。また、 $P(X)$ はブール環でもある。

その他の性質

$X$ を 1 つの集合とし、 $A, B$ を $X$ の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ：

$A △ B = (X - A)△(X - B)$ 。

$Λ$ を 1 つの集合とし、 $Λ$ の各元 $λ$ に対して 2 つの集合 $A λ, B λ$ が定められているとき、次が成り立つ：

$\left(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\right)\triangle \left(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }\right)\subset \bigcup _{\lambda \in \Lambda }\left(A_{\lambda }\triangle B_{\lambda }\right)$ 。

$f$ を集合 $S$ から集合 $T$ への 1 つの写像とし、 $A, B$ を $T$ の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ：

$f -1 (A △ B) = f -1 (A) △ f -1 (B)$ 。

多項対称差

対称差は結合法則と交換法則を満たすので、 $n$ 個の集合 $A 0$ … $A n -1$ の対称差 $A 0$ △…△ $A n -1$ =(…( $A 0$ △ $A 1)$ △…△ $A n -1)$ は順番に依らない。このことから対称差はより一般に（各元における重複度が有限であるような）集合族　 $\{A_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ 　に対し以下のように拡張できる。

\triangle _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\left\{a\in \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }:|\{\lambda \in \Lambda :a\in A_{\lambda }\}|{\mbox{ が 奇 数 }}\right\}

.

上記のような集合族について $\Lambda$ 及び各 $A_{\lambda }$ がともに有限集合であるとき、対称差の濃度について以下のような公式が成り立つ（(和集合)の場合にも同様の公式が成り立つ）。

|\triangle _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }|=\sum _{\mathrm {M} \subset \Lambda }(-2)^{|\mathrm {M} |-1}|\bigcap _{\lambda \in \mathrm {M} }A_{\lambda }|

.

測度空間上の対称差

2つの集合の対称差の「大きさ」は2つの集合がどれだけ異なるかを表していると思える。今 $μ$ を集合 $X$ 上の測度とし $Σ$ を測度有限な可測集合全体とする。このとき $Σ\timesΣ$ 上の関数の $d$ を

d_{\mu }(A,B):=\mu (A\triangle B)

と定めると、これは $Σ$ 上の擬距離になる。

この擬距離に関して2つの集合間の距離が0になることは、2つの集合の定義関数が $μ$ に関して殆どいたるところ一致することの必要十分条件である。

$A,B$ が $Σ$ の元であるとき $|\mu (A)-\mu (B)|\leq \mu (A\,\triangle \,B)$ が成立する。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ $Z 2$ は $Z$ の $2 Z$ による商群に等しい： $Z 2 = Z /2 Z$ 。ここで、 $Z$ は加法群（整数全体の集合）、 $2 Z$ は ${2}$ によって生成される $Z$ の部分群（偶数全体の集合）である。

出典

^ 小田　稔ほか編「symmtric dfference」『理化学英和辞典』JapanKnowledge、1998年。
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 松坂 1968, pp. 21–22 第1章 §2 問題7-9
^ 松坂 1976, p. 50 第2章 §2 問題9
^ 松坂 1976, p. 111 第3章 §1 問題8

参考文献

松坂, 和夫 (1968), 集合・位相入門, 日本: 岩波書店, ISBN (4-00-005424-4)
松坂, 和夫 (1976), 代数系入門, 日本: 岩波書店, ISBN (4-00-005634-4)

外部リンク

symmetric difference in nLab
Weisstein, Eric W. "Symmetric Difference". MathWorld (英語).
symmetric difference - PlanetMath.（英語）
(Definition:Symmetric Difference) at ProofWiki
Voitsekhovskii, M.I. (2001), "Symmetric difference of sets", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。

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[5] $Z 2$ は $Z$ の $2 Z$ による商群に等しい： $Z 2 = Z /2 Z$ 。ここで、 $Z$ は加法群（整数全体の集合）、 $2 Z$ は ${2}$ によって生成される $Z$ の部分群（偶数全体の集合）である。

[1] 小田　稔ほか編「symmtric dfference」『理化学英和辞典』JapanKnowledge、1998年。

[FOOTNOTE松坂196821–22-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 松坂 1968, pp. 21–22 第1章 §2 問題7-9

[FOOTNOTE松坂197650-3] 松坂 1976, p. 50 第2章 §2 問題9

[FOOTNOTE松坂1976111-4] 松坂 1976, p. 111 第3章 §1 問題8

[1]

[2]

[3]

[4]

[注釈 1]

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