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数論における乗法的関数(じょうほうてきかんすう、英: multiplicative function)とは、正の整数 n の数論的関数 f(n) であって、f(1) = 1 であり、a と b が互いに素であるならば常に
- f(ab) = f(a) f(b)
が成り立つことである。さらに、f(n) が、任意のa と b に対しても、f(1) = 1、f(ab) = f(a) f(b) が成り立つ時、(完全乗法的関数)(英語: completely multiplicative function)と呼ぶ[1]。
例
- gcd(n,k) : nとkの最大公約数(k を固定して、n の関数とみなした場合)
- 任意の整数 k に対する
- メビウス関数:
- 約数関数: n の約数の個数を表す
- k乗約数和関数:
- n の正の奇数の約数の個数を表す
- n の正の奇数の約数の和を表す
- オイラー関数:
- ディリクレ指標:
- リウヴィルのラムダ関数: (ただし、 はn の素因数の重複も含めた総数)
- ラマヌジャンの和関数:
- (ラマヌジャンの τ 関数):
- は、 の n 次の係数
- 任意の正整数 k に対する、 (ただし、 はn の異なる素因数の総数)
脚注
注釈
出典
参考文献
- Weisstein, Eric W. "Multiplicative function". MathWorld (英語).