数学 において、不完全ガンマ関数 (ふかんぜんガンマかんすう、英 : incomplete gamma function )あるいは、ルジャンドル の不完全ガンマ関数 は、ガンマ関数 の一般化の一つ。(完全)ガンマ関数の積分 表示から、積分区間 の端点の一方(すなわち積分域の始点か終点)を変数 に置き換えたものとして定義される。
定義 不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,∞]を2つに分けて以下のように定義される。
0以上の実数 x と、 実部 が正の複素数 a に対し
第1種不完全ガンマ関数 γ ( a , x ) {\displaystyle \gamma (a,x)} γ ( a , x ) = ∫ 0 x t a − 1 e − t d t {\displaystyle \gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt\,\!} 第2種不完全ガンマ関数 Γ ( a , x ) {\displaystyle \Gamma (a,x)} Γ ( a , x ) = ∫ x ∞ t a − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt\,\!}
性質 ガンマ関数の定義は
Γ ( a ) = ∫ 0 ∞ t a − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (a)=\int _{0}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt} であるから、
γ ( a , x ) + Γ ( a , x ) = Γ ( a ) {\displaystyle \gamma (a,x)+\Gamma (a,x)=\Gamma (a)} となる。
また、不完全ガンマ関数の定義式に部分積分 を用いることで
γ ( a + 1 , x ) = a γ ( a , x ) − x a e − x Γ ( a + 1 , x ) = a Γ ( a , x ) + x a e − x {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (a+1,x)&=a\gamma (a,x)-x^{a}e^{-x}\\\Gamma (a+1,x)&=a\Gamma (a,x)+x^{a}e^{-x}\end{aligned}}} という関係が成り立つことも分かる。
さらに、以下のような式が成り立つ。
Γ ( a , 0 ) = Γ ( a ) γ ( a , x ) → Γ ( a ) ( x → ∞ ) Γ ( 0 , x ) = − Ei ( − x ) for x > 0 Γ ( 1 / 2 , x ) = π erfc ( x ) γ ( 1 / 2 , x ) = π erf ( x ) Γ ( 1 , x ) = e − x γ ( 1 , x ) = 1 − e − x {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (a,0)&=\Gamma (a)\\\gamma (a,x)&\to \Gamma (a)\quad (x\to \infty )\\\Gamma (0,x)&=-\operatorname {Ei} (-x)\quad {\text{ for }}x>0\\\Gamma (1/2,x)&={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)\\\gamma (1/2,x)&={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)\\\Gamma (1,x)&=e^{-x}\\\gamma (1,x)&=1-e^{-x}\end{aligned}}} ここで、
である。
微分 ∂ Γ ( a , x ) ∂ x = − x a − 1 e x {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial x}}=-{\frac {x^{a-1}}{e^{x}}}} MeijerのG関数から[1] :
T ( m , a , x ) = G m − 1 , m m , 0 ( 0 , 0 , … , 0 a − 1 , − 1 , … , − 1 | x ) {\displaystyle T(m,a,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\a-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right)} T ( m , a , z ) = − ( − 1 ) m − 1 ( m − 2 ) ! d m − 2 d t m − 2 [ Γ ( a − t ) z t − 1 ] | t = 0 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z a − 1 + n n ! ( − a − n ) m − 1 {\displaystyle T(m,a,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {{\rm {d}}^{m-2}}{{\rm {d}}t^{m-2}}}\left[\Gamma (a-t)z^{t-1}\right]{\Big |}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{a-1+n}}{n!(-a-n)^{m-1}}}} 時 | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} ∂ Γ ( a , x ) ∂ a = ln x Γ ( a , x ) + x T ( 3 , a , x ) {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial a}}=\ln x\Gamma (a,x)+x\,T(3,a,x)} ∂ 2 Γ ( a , x ) ∂ a 2 = ln 2 x Γ ( a , x ) + 2 x [ ln x T ( 3 , a , x ) + T ( 4 , a , x ) ] {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (a,x)}{\partial a^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (a,x)+2x[\ln x\,T(3,a,x)+T(4,a,x)]} ∂ m Γ ( a , x ) ∂ a m = ln m x Γ ( a , x ) + m x ∑ n = 0 m − 1 P n m − 1 ln m − n − 1 x T ( 3 + n , a , x ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (a,x)}{\partial a^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (a,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,a,x)} と P j n = ( n j ) j ! = n ! ( n − j ) ! . {\displaystyle P_{j}^{n}=\left({\begin{array}{l}n\\j\end{array}}\right)j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}
出典 ^ K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions , AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149-165, [1]
参考文献 M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . New York: Dover, 1972. (See Chapter 6.) G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists . Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.) W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C . Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.2.)
関連項目
外部リンク ガンマ関数とベータ関数 (PDF ) (日本語) [ ] ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム。