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レピュニット

レピュニット (レピュニット数レプユニット数単位反復数: Repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである[注釈 1]

10進法におけるn桁のレピュニットは の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...(オンライン整数列大辞典の数列 (A004023)) のときに、Rn素数となる。2進法におけるn桁のレピュニットはメルセンヌ数 である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数 (またはレプユニット素数: Repunit prime)という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質

mn を割り切るならば、RmRn を割り切る。よって、n合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるため、すべてズッカーマン数である。

Rn は、n が3の累乗数のとき(n が 1 = 30 のときも含む)は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数
  • 偶数 - 11
    • 4の倍数 - 11 · 101
    • 6の倍数 - 3・7・11・13・37
  • 3の倍数 - 3 · 37
  • 5の倍数 - 41 · 271
  • 7の倍数 - 239 · 4649
  • 17の倍数 - 2071723 · 5363222357
など

901型の例

前述の通り、R2n は11つまりR2 で割り切れる。同様に、2×n桁のR2n は、n桁のRn で割り切れる。さらに、nが奇数の時、Rn は11で割り切れないから、R2 と Rn は互いに素となる。よって、R2nは、R2 × Rn で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、 n-1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると以下のようになる。

n(奇数) 2 × n R2n R2nの値(2×n桁) R2 × Rn R2 × Rnの値(n+1桁) R2n ÷ R2 ÷ Rnの値(n-1桁) R2n ÷ R2 ÷ Rnの素因数分解
3 6 R06 111111 R2 × R3 1221 × 91 7 · 13
5 10 R10 1111111111 R2 × R5 122221 9091 素数
7 14 R14 11111111111111 R2 × R7 12222221 909091 素数
9 18 R18 111111111111111111 R2 × R9 1222222221 90909091 7 · 13 · 19 · 52579
11 22 R22 1111111111111111111111 R2 × R11 122222222221 9090909091 11 · 23 · 4093 · 8779

nが偶数の時のR2n、その他 についての例は以下。

  • R12 = 11222211 × 9901
  • R20 = 1222210000122221 × 9091
  • R24 = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001
  • R28 = 1222222100000012222221 × 909091
  • R36 = 111111222222222222111111× 999999000001
  • R39 = 123333333333321 × 900900900900990990990991
など
  • R06 = 11 × (9091 + 1010)
  • R08 = 11 × (909091 + 101010)
  • R10 = 11 × (90909091 + 10101010)

[3][4][5][6]


1と0のみで表す例

n (10n/2 − 1) / 9 [7] 10n/2 + 1
R02 1 1 × 11 11
R04 11 11 × 101 101
R06 3 · 37 111 × 1001 7 · 11 · 13
R08 11 · 101 1111 × 10001 73 · 137
R10 41 · 271 11111 × 100001 11 · 9091
n
R02 0001 × 11 1 × 11
R03 # 0001 × 111
R04 $ 0001 × 1111 11 × 101
R05 % 0001 × 11111
R06 & 0001 × 111111 111 × 1001
# 0011 × 10101
R07 * 0001 × 1111111
R08 $ 0011 × 1010101 1111 × 10001
R09 # 0111 × 1001001
R10 % 0011 × 101010101 11111 × 100001
R12 & 0011 × 10101010101 111111 × 1000001
$ 0111 × 1001001001
# 1111 × 100010001
R14 * 0011 × 1010101010101 1111111 × 10000001
n
R06 1 × 111 × 1001 91 · 11
R12 11 × 10101 × 1000001 9901 · 101
R18 111 × 1001001 × 1000000001 999001 · 1001
R24 1111 × 100010001 × 1000000000001 99990001 · 10001
n
R04 11 × 101
R08 101 × 110011
R12 1001 × 111000111 1221001221 × 91
R16 10001 × 111100001111
R20 100001 × 111110000011111 1222210000122221 × 9091
R24 1000001 × 111111000000111111 1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数

[8]

n Rn×(10n+1)
[9][10][11]
R02 6252 6252 6252
R03 562 − 552 562552
R04 562 − 452 5562 − 5552
R05 55562 − 55552
R06 5562 − 4452 555562 − 555552 5056250452 6562 − 5652
R07 5555562 − 5555552
R08 55562 − 44452 0G(省略)
R09 0F(省略) 50055625004452
R10 0E(省略) 0E(省略) 656562 − 565652
R11 0D(省略)
R12 0C(省略) 0C(省略) 500055562500044452
R13 0B(省略)
R14 0C(省略) 0A(省略) 65656562 - 56565652

レピュニット素数

現在、Rnn = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年に H. Dubner が確率的素数として発見してから P. Underwood によって素数判定されるまで23年を要した[12]

2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し[13]、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している[14][]。同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した[15]

2021年4月20日、S. Batalov と R. Propper は n=5794777 を[16]、同年5月8日に n=8177207 を PRP であると発表した[17]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の PRP であった。

Rn = (10n − 1) / 9
No. n 発見者 素数判定
1 2 - -
2 19 - -
3 23 - -
4 317 1978 Williams
5 1031 1986 Williams, Dubner
6 49081 1999 Dubner
7 86453 2000 Baxter -
8 109297 2007 Dubner -
9 270343 2007 Voznyy -
10 5794777 2021 Batalov, Ryan -
11 8177207 2021 Batalov, Ryan -

(オンライン整数列大辞典の数列 (A004023))

レピュニットの素因数分解

レピュニットは、25を除く素数の積で構成されている[18]

基数 10 のレピュニットの R1 から R122 までの素因数分解の一覧を示す[19]

n素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

素因数の数(含重複)

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

基数10 のレピュニットのRn(n=1~122)の素因数分解の表
n 素因数分解
 
1 0 01
2 1 11 (素数)
3 2 03 · 37
4 2 11 · ‾C101
5 2 41 · 271
6 5 03 · 07 · 11 · 13 · 37
7 2 ‾C239 · 4649
8 4 11 · 73 · ‾C101 · 137
9 4 032 · 37 · ‾F333667
10 4 11 · 41 · ‾C271 · 9091
11 2 ‾E21649 · 513239
12 7 03 · 07 · 11 · 13 · 37 · ‾C101 · 9901
13 3 53 · 79 · 265371653
14 4 11 · ‾C239 · 4649 · 909091
15 6 03 · 31 · 37 · 41 · ‾C271 · 2906161
16 6 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
17 2 ‾G2071723 · 5363222357
18 9 032 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · ‾E52579 · 333667
19 1 ‾S1111111111111111111 (素数)
20 7 11 · 41 · ‾C101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
21 7 03 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
22 7 112 · 23 · ‾D4093 · 8779 · 21649 · 513239
23 1 ‾W11111111111111111111111 (素数)
24 10 03 · 07 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
25 5 41 · 271 · ‾E21401 · 25601 · 182521213001
26 6 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
27 7 033 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
28 8 11 · 29 · ‾C101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
29 5 ‾D3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
30 13 03 · 07 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · ‾C211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
31 3 ‾D2791 · 6943319 · 57336415063790604359
32 11 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5882353
33 6 03 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1344628210313298373
34 6 11 · ‾C103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21993833369
35 7 41 · 071 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102598800232111471
36 12 032 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · ‾C101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001
37 3 ‾G2028119 · 247629013 · 2212394296770203368013
38 3 11 · ‾R909090909090909091 · 1111111111111111111
39 6 03 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991
40 11 11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081
41 4 83 · 1231 · 538987 · 201763709900322803748657942361
42 15 03 · 072 · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 459691 · 909091 · 10838689
43 4 ‾C173 · 1527791 · 1963506722254397 · 2140992015395526641
44 11 112 · 23 · 89 · 101 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261
45 10 032 · 31 · 37 · 41 · 271 · 238681 · 333667 · 2906161 · 4185502830133110721
46 6 11 · 47 · 139 · 2531 · 549797184491917 · 11111111111111111111111
47 2 ‾H35121409 · 316362908763458525001406154038726382279
48 13 03 · 07 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · ‾C101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · 9999999900000001
49 4 ‾C239 · 4649 · ‾I505885997 · 1976730144598190963568023014679333
50 10 11 · 41 · ‾C251 · 271 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001 · 78875943472201
51 8 03 · 37 · ‾C613 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 13168164561429877
52 9 11 · 53 · 79 · 101 · 521 · 859 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781
53 4 ‾C107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 7198858799491425660200071
54 14 033 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52579 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 440334654777631
55 8 41 · 271 · 1321 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 1300635692678058358830121
56 12 11 · 29 · 73 · 101 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 121499449 · 127522001020150503761
57 6 03 · 37 · ‾E21319 · 10749631 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519
58 8 11 · 59 · ‾D3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 · 154083204930662557781201849
59 2 ‾M2559647034361 · 4340876285657460212144534289928559826755746751
60 20 03 · 07 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · ‾C101 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 2906161 · 4188901 · 39526741
61 7 ‾C733 · 4637 · 329401 · 974293 · 1360682471 · 106007173861643 · 7061709990156159479
62 5 11 · ‾D2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 909090909090909090909090909091
63 14 032 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10837 · 23311 · 45613 · 333667 · 10838689 · 45121231 · 1921436048294281
64 15 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 19841 · 69857 · 976193 · 5882353 · 6187457 · 834427406578561
65 7 41 · 053 · 79 · 271 · 265371653 · 162503518711 · 5538396997364024056286510640780600481
66 15 03 · 07 · 112 · 13 · 23 · 37 · 67 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 599144041 · 183411838171 · 1344628210313298373
67 3 ‾F493121 · 79863595778924342083 · 28213380943176667001263153660999177245677
68 10 11 · ‾C101 · 103 · 4013 · 2071723 · 28559389 · 1491383821 · 5363222357 · 21993833369 · 2324557465671829
69 6 03 · 37 · ‾C277 · 203864078068831 · 11111111111111111111111 · 1595352086329224644348978893
70 12 11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 9091 · 123551 · 909091 · 4147571 · 102598800232111471 · 265212793249617641
71 2 ‾ZD241573142393627673576957439049 · 45994811347886846310221728895223034301839
72 18 032 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · 73 · 101 · 137 · 3169 · 9901 · 52579 · 98641 · 333667 · 99990001 · 999999000001 · 3199044596370769
73 3 ‾K12171337159 · 1855193842151350117 · 49207341634646326934001739482502131487446637
74 7 11 · ‾D7253 · 2028119 · 247629013 · 422650073734453 · 296557347313446299 · 2212394296770203368013
75 12 03 · 31 · 37 · 41 · ‾C151 · 271 · 4201 · 21401 · 25601 · 2906161 · 182521213001 · 15763985553739191709164170940063151
76 6 11 · ‾C101 · 722817036322379041 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 1369778187490592461
77 8 ‾C239 · 4649 · 5237 · 21649 · 42043 · 513239 · 29920507 · 136614668576002329371496447555915740910181043
78 15 03 · 07 · 11 · 132 · 37 · 53 · 79 · 157 · 859 · 6397 · 216451 · 265371653 · 1058313049 · 388847808493 · 900900900900990990990991
79 6 ‾C317 · 6163 · 10271 · 307627 · 49172195536083790769 · 3660574762725521461527140564875080461079917
80 15 11 · 17 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5070721 · 5882353 · 5964848081 · 19721061166646717498359681
81 13 034 · 37 · 163 · 757 · 9397 · 333667 · 2462401 · 440334654777631 · 676421558270641 · 130654897808007778425046117
82 7 11 · 83 · 1231 · 538987 · 2670502781396266997 · 3404193829806058997303 · 201763709900322803748657942361
83 3 ‾M3367147378267 · 9512538508624154373682136329 · 346895716385857804544741137394505425384477
84 21 03 · 072 · 11 · 13 · 29 · 37 · 43 · 101 · 127 · 239 · 281 · 1933 · 2689 · 4649 · 9901 · 226549 · 459691 · 909091 · 10838689 · 121499449 · 4458192223320340849
85 7 41 · 271 · ‾G2071723 · 262533041 · 5363222357 · 8119594779271 · 4222100119405530170179331190291488789678081
86 8 11 · ‾C173 · 1527791 · 57009401 · 2182600451 · 1963506722254397 · 2140992015395526641 · 7306116556571817748755241
87 10 03 · 37 · ‾D3191 · 4003 · 16763 · 43037 · 62003 · 72559 · 77843839397 · 310170251658029759045157793237339498342763245483
88 15 112 · 23 · 73 · 89 · 101 · 137 · 617 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261 · 16205834846012967584927082656402106953
89 5 ‾F497867 · 103733951 · 104984505733 · 5078554966026315671444089 · 403513310222809053284932818475878953159
90 22 032 · 07 · 11 · 13 · 19 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 29611 · 52579 · 238681 · 333667 · 2906161 · 3762091 · 8985695684401 · 4185502830133110721
91 12 53 · 79 · 239 · 547 · 4649 · 14197 · 17837 · 4262077 · 265371653 · 43442141653 · 316877365766624209 · 110742186470530054291318013
92 10 11 · 47 · 101 · 139 · 1289 · 2531 · 18371524594609 · 549797184491917 · 11111111111111111111111 · 4181003300071669867932658901
93 6 03 · 37 · ‾D2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
94 6 11 · ‾D6299 · 35121409 · 4855067598095567 · 297262705009139006771611927 · 316362908763458525001406154038726382279
95 8 41 · 191 · 271 · 59281 · 63841 · 1111111111111111111 · 1289981231950849543985493631 · 965194617121640791456070347951751
96 22 03 · 07 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 97 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 9901 · 69857 · 206209 · 5882353 · 99990001 · 66554101249 · 75118313082913 · 9999999900000001
97 3 ‾H12004721 · 846035731396919233767211537899097169 · 109399846855370537540339266842070119107662296580348039
98 8 11 · ‾C197 · 239 · 4649 · 909091 · 505885997 · 1976730144598190963568023014679333 · 5076141624365532994918781726395939035533
99 12 032 · 37 · 67 · 199 · 397 · 21649 · 34849 · 333667 · 513239 · 1344628210313298373 · 362853724342990469324766235474268869786311886053883
100 17 11 · 41 · ‾C101 · 251 · 271 · 3541 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 27961 · 60101 · 7019801 · 182521213001 · 14103673319201 · 78875943472201 · 1680588011350901
101 3 ‾ZB4531530181816613234555190841 · 129063282232848961951985354966759 · 18998088572819375252842078421374368604969
102 16 03 · 07 · 11 · 13 · 37 · ‾C103 · 613 · 4013 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 21993833369 · 291078844423 · 13168164561429877 · 377526955309799110357
103 3 ‾D1031 · 7034077 · 153211620887015423991278431667808361439217294295901387715486473457925534859044796980526236853
104 13 11 · 53 · 73 · 79 · 101 · 137 · 521 · 859 · 1580801 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781 · 632527440202150745090622412245443923049201
105 17 03 · 31 · 37 · 41 · 43 · 71 · 239 · 271 · 1933 · 4649 · 123551 · 2906161 · 10838689 · 30703738801 · 625437743071 · 102598800232111471 · 57802050308786191965409441
106 6 11 · ‾C107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 47198858799491425660200071 · 9090909090909090909090909090909090909090909090909091
107 8 ‾C643 · 999809 · 9885089 · 215257037 · 2386760191 · 511399538427507881 · 646826950155548399 · 10288079467222538791302311556310051849
108 20 033 · 07 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 109 · 757 · 9901 · 52579 · 153469 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 999999000001 · 440334654777631 · 59779577156334533866654838281
109 4 ‾G1192679 · 712767480971213008079 · 5295275348767234696493 · 246829743984355435962408390910378218537282105150086881669547
110 18 112 · 23 · 41 · 271 · 331 · 1321 · 4093 · 5171 · 8779 · 9091 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 20163494891 · 318727841165674579776721 · 1300635692678058358830121
111 9 03 · 372 · 2028119 · 247629013 · 30557051518647307 · 2212394296770203368013 · 8845981170865629119271997 · 90077814396055017938257237117
112 17 11 · 17 · 29 · 73 · 101 · 113 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 5882353 · 121499449 · 73765755896403138401 · 127522001020150503761 · 119968369144846370226083377
113 3 ‾C227 · 908191467191 · 53895712312217719065267103426685397298498705173449226555003346881878523705781079015749721646701723
114 12 03 · 07 · 11 · 13 · 37 · ‾E21319 · 1458973 · 10749631 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519 · 753201806271328462547977919407
115 8 41 · 271 · ‾E31511 · 19707665921 · 20414137203567631 · 11111111111111111111111 · 5799951513941382144830754391 · 122403569491783662720773144041
116 13 11 · 59 · ‾C101 · 349 · 3191 · 16763 · 38861 · 43037 · 62003 · 618049 · 77843839397 · 154083204930662557781201849 · 1181180637520183640867963573625866958318­7541
117 12 032 · 37 · 53 · 79 · 333667 · 265371653 · 240396841140769 · 537947698126879 · 3352825314499987 · 900900900900990990990991 · 2304017384484085131816292573
118 6 11 · ‾D1889 · 2559647034361 · 1090805842068098677837 · 4411922770996074109644535362851087 · 4340876285657460212144534289928559826755­746751
119 8 ‾C239 · 4649 · ‾F923441 · 2071723 · 5363222357 · 3924966376871 · 768736559421401249042753476963 · 3230129421485627516508145444373504546404­48842187
120 26 03 · 07 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 73 · 101 · 137 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 1676321 · 2906161 · 4188901 · 39526741 · 99990001 · 5964848081 · 100009999999899989999000000010001
121 6 15973 · 21649 · 38237 · 274187 · 513239 · 597149176209530412360795391497657340159943421992502538230831481682232969649167277637825641074323
122 10 11 · 733 · 4637 · 81131 · 329401 · 974293 · 1360682471 · 106007173861643 · 7061709990156159479 · 11205222530116836855321528257890437575145023592596037161

一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対してn桁のレピュニットは  と定義される。

前述の通り、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは an − 1 の(約数の和)に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5(3) = 112, R4(7) = 202, R3(18) = 73 の場合しかない(Bugeaud 1999b[20])。

Fd(x) を d 次の円分多項式とすると、

 

と表すことができる。

脚注

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注釈

  1. ^ アルバート・ベイラーは以下のように記している:

    A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1. [1]

出典

  1. ^ Beiler 2013, pp. 83
  2. ^ Yann Bugeaud and M. Mignotte, On integers with identical digits, Mathematika 46 (1999), 411–417.
  3. ^ 电算游戏(六)“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客
  4. ^ 电算游戏(六)之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客
  5. ^ 1111…1という数(レピュニット)の素因数分解を納得する - アジマティクス
  6. ^ Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016
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  10. ^ nombre - onze en maths
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  18. ^ 『{{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語
  19. ^ 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2022年3月29日閲覧。
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参考文献

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  • Dickson, Leonard Eugene; (Cresse, G.H.) (1999-04-24), History of the Theory of Numbers, AMS Chelsea Publishing, Volume I (2nd Reprinted ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN (978-0-8218-1934-0), https://books.google.com/books?id=XnwsAQAAIAAJ 
  • (Francis, Richard L.) (1988-05), “Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers”, The College Mathematics Journal 19 (3): 240-246 
  • (Ribenboim, Paulo) (1996-02-02), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (3rd ed.), New York: Springer, ISBN (978-0-387-94457-9), https://books.google.com/books?id=2VTSBwAAQBAJ 
  • (Yates, Samuel) (1982-05), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN (978-0-9608652-0-8), https://books.google.com/books?id=3_vuAAAAMAAJ 

関連項目

外部リンク

  • 『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語
  • 11...11 (レピュニット) の素因数分解(n = 20万までの一覧)
  • Factorizations of Repunit Numbers (n = 14980までの一覧)
  • 纯元数的实验与探究
  • collection de nombres, rep-unit
  • Weisstein, Eric W. "Repunit". MathWorld (英語).


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