ランベルトのW函数 (ランベルトのWかんすう、英 : Lambert W function )あるいはオメガ函数 (ω function )、対数積(product logarithm ; 乗積対数)は、函数 f (z ) = ze z の逆関係 の分枝 として得られる函数 W の総称である。ここで、ez は指数函数 、z は任意の複素数 とする。すなわち、W は z = f −1 (ze z ) = W (ze z ) を満たす。
W (x ) のグラフの
W > −4 および
x < 6 の部分。
W ≥ −1 なる上の枝を主枝
W 0 と言い、
W ≤ −1 なる下側の分枝を
W −1 という。
上記の方程式で、z' = ze z と置きかえれば、任意の複素数 z' に対する W 函数(一般には W 関係)の定義方程式
z ′ = W ( z ′ ) e W ( z ′ ) {\displaystyle z'=W(z')e^{W(z')}} を得る。
函数 ƒ は単射 ではないから、関係 W は(0 を除いて)多価 である。仮に実数値の W に注意を制限するとすれば、複素変数 z は実変数 x に取り換えられ、関係の定義域は区間 x ≥ −1/e に限られ、また開区間 (−1/e , 0) 上で二価の函数になる。さらに制約条件として W ≥ −1 を追加すれば一価函数 W 0 (x ) が定義されて、W 0 (0) = 0 および W 0 (−1/e ) = −1 を得る。それと同時に、下側の枝は W ≤ −1 であって、W −1 (x ) と書かれる。これは W −1 (−1/e ) = −1 から W −1 (−0) = −∞ まで単調減少する。
ランベルト W 関係は初等函数 では表すことができない[1] 。ランベルト W は組合せ論 において有用で、例えば木 の数え上げに用いられる。指数函数を含む様々な方程式(例えばプランク分布 、ボーズ–アインシュタイン分布 、フェルミ–ディラック分布 などの最大値)を解くのに用いられ、またy' (t ) = ay (t − 1) のような(遅延微分方程式 )(英語版) の解としても生じる。生化学 において、また特に酵素動力学 において、ミカエリス–メンテン動力学 の経時動力学解析に対する閉じた形の解はランベルト W 函数によって記述される。
複素数平面におけるランベルト
W 函数の主枝。負の実軸に沿った(
分岐切断 )は
−1/e を端点に持つ。この図では、点
z における色相を
W の
偏角 で、輝度を
W の
絶対値 で決定している。
用語について
歴史 ランベルトは初め「ランベルトの超越方程式」に関連して1758年に考察した[3] 。これはレオンハルト・オイラー の1783年の wew の特別な場合を論じた論文[4] に繋がる。
ランベルト W -函数は、特殊化された応用において、十年程度毎に「再発見」されてきた[要出典 ] 。1993年には、等電荷に対する量子力学的(二重井戸型ディラックデルタ函数モデル )(英語版) (物理学における基本問題)の厳密解をランベルト W -函数が与えることが報告されたとき、コーレスら計算機代数システムMaple の開発者たちはライブラリを精査して、この函数が自然界に遍く存在することを発見した[2] [5] 。
微分積分学 導函数 陰函数微分法 により、W の任意の枝が常微分方程式
z ( 1 + W ) d W d z = W ( z ≠ − 1 / e ) {\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad (z\neq -1/e)} を満たすことが示せる(z = −1/e では W は微分できない)。従って、W の導函数は
d W d z = W ( z ) z ( 1 + W ( z ) ) ( z ∉ { 0 , − 1 / e } ) {\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad (z\notin \{0,-1/e\})} を満たす。ここで恒等式 e W (z ) = z /W (z ) を用いるならば、
d W d z = 1 z + e W ( z ) ( z ≠ − 1 / e ) {\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad (z\neq -1/e)} と書きなおすこともできる。
原始函数 函数 W (x ) (およびそれを含む多くの式)は、w = W (x ), (x = wew ) と置いた置換積分 によって
∫ W ( x ) d x = x W ( x ) − x + e W ( x ) + C = x ( W ( x ) − 1 + 1 W ( x ) ) + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x){\mathit {dx}}&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\\\end{aligned}}} と積分できる。
したがって、(W (e ) = 1 であることも考慮して)等式
∫ 0 e W ( x ) d x = e − 1 {\displaystyle \int _{0}^{e}W(x)\,{\mathit {dx}}=e-1} が得られる。
漸近展開 W 0 の 0 を中心とするテイラー級数 は、(逆に解いて )(英語版)
W 0 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − n ) n − 1 n ! x n = x − x 2 + 3 2 x 3 − 8 3 x 4 + 125 24 x 5 − ⋯ {\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots } ダランベールの収束判定法 によると、収束半径 は 1 ⁄e である。この級数の定める函数は、区間 (−∞, −1/e ] に沿って(分岐切断 )(英語版) を入れれば、ガウス平面の全域で定義される正則函数 に延長することができる。この正則函数をランベルト W 函数の主値 と定める。
x が十分大きければ、W 0 は漸近的に
W 0 ( x ) = L 1 − L 2 + L 2 L 1 + L 2 ( − 2 + L 2 ) 2 L 1 2 + L 2 ( 6 − 9 L 2 + 2 L 2 2 ) 6 L 1 3 + L 2 ( − 12 + 36 L 2 − 22 L 2 2 + 3 L 2 3 ) 12 L 1 4 + ⋯ = L 1 − L 2 + ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) ℓ [ ℓ + m ℓ + 1 ] m ! L 1 − ℓ − m L 2 m = ln ( x ) − ln ( ln ( x ) ) + o ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}(-2+L_{2})}{2L_{1}^{2}}}\\&\qquad \qquad +{\frac {L_{2}(6-9L_{2}+2L_{2}^{2})}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3})}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[8pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }\left[{\ell +m \atop \ell +1}\right]}{m!}}L_{1}^{-\ell -m}L_{2}^{m}\\&=\ln(x)-\ln(\ln(x))+o(1)\end{aligned}}} と展開される。ただし、L 1 = ln(x ), L 2 = ln(ln(x )) であり、[k n ] は非負の第一種スターリング数 である[6] 。
もう一つの、区間 (−∞, −1/e ] 上で定義される実函数な枝 W −1 は、L 1 = ln(−x ), L 2 = ln(−ln(−x )) と書けば、x が十分 0 に近いとき同じ形の漸近展開を持つ。
x ≥ e なるとき、
ln ( x ) − ln ( ln ( x ) ) + ln ( ln ( x ) ) 2 ln ( x ) ≤ W 0 ( x ) ≤ ln ( x ) − ln ( ln ( x ) ) + e e − 1 ln ( ln ( x ) ) ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{2\ln(x)}}\leq W_{0}(x)\leq \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{\ln(x)}}} という上下の評価が成り立つ[7] 。また もう一つの枝 W −1 の評価は u > 0 に対して
− 1 − 2 u − u < W − 1 ( − e − u − 1 ) < − 1 − 2 u − 2 3 u {\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}(-e^{-u-1})<-1-{\sqrt {2u}}-{\frac {2}{3}}u} となる[8] 。
整数冪・複素数冪の展開 W 0 の整数乗もまた 0 において単純なテイラー級数(あるいはローラン級数 )展開を持つ。例えば
W 0 ( x ) 2 = ∑ n = 2 ∞ − 2 ( − n ) n − 3 ( n − 2 ) ! x n = x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 − 25 3 x 5 + 18 x 6 − ⋯ . {\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2(-n)^{n-3}}{(n-2)!}}\ x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\frac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .} より一般に、ラグランジュの反転公式を用いれば、r ∈ Z に対して
W 0 ( x ) r = ∑ n = r ∞ − r ( − n ) n − r − 1 ( n − r ) ! x n {\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}}\ x^{n}} となることが示せる(これは一般に、位数 r のローラン級数になっている)。あるいは同じことだが、この式を W 0 (x )/x の冪に関するテイラー級数として
( W 0 ( x ) x ) r = exp ( − r W 0 ( x ) ) = ∑ n = 0 ∞ r ( n + r ) n − 1 n ! ( − x ) n {\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=\exp(-rW_{0}(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r(n+r)^{n-1}}{n!}}(-x)^{n}} と書くことができる。これは任意の r ∈ C と |x | < e −1 に対して成立する。
特殊値 任意の非零代数的数 x に対して W (x ) は超越数 になる。実際、W (x ) が零ならば x も零でなければならず、また W (x ) が非零代数的数ならばリンデマン–ワイエルシュトラスの定理 により e W (x ) は超越的でなければならず、従ってx = W (x )e W (x ) もまた超越的でなければならない。
W ( − π / 2 ) = i π / 2 {\displaystyle W(-\pi /2)=i\pi /2} W ( ln 4 ) = ln 2 {\displaystyle W({\ln 4})=\ln 2} W 0 ( − ( ln 2 ) / 2 ) = − ln 2 {\displaystyle W_{0}(-(\ln 2)/2)=-\ln 2} W − 1 ( − ( ln 2 ) / 2 ) = W − 1 ( − ( ln 4 ) / 4 ) = − ln 4 {\displaystyle W_{-1}(-(\ln 2)/2)=W_{-1}(-(\ln 4)/4)=-\ln 4} W ( − ( ln a ) / a ) = − ln a ( 1 / e ≤ a ≤ e ) {\displaystyle W(-(\ln a)/a)=-\ln a\quad (1/e\leq a\leq e)} W ( − 1 / e ) = − 1 {\displaystyle W(-1/e)=-1} W ( 0 ) = 0 {\displaystyle W(0)=0} W ( 1 ) = Ω = 1 ∫ − ∞ + ∞ d t ( e t − t ) 2 + π 2 − 1 ≈ 0.56714329 … {\displaystyle W(1)=\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\approx 0.56714329\dots } (オメガ定数 ) W ( 1 ) = e − W ( 1 ) = − ln W ( 1 ) {\displaystyle W(1)=e^{-W(1)}=-\ln W(1)} W ( e ) = 1 {\displaystyle W(e)=1} − W ( − 1 ) = e − W ( − 1 ) = ln ( − W ( − 1 ) ) ≈ 0.31813 … + 1.33723 … i {\displaystyle -W(-1)=e^{-W(-1)}=\ln(-{W(-1)})\approx 0.31813\dots \ +1.33723\dots \,i} W ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle W'(0)=1}
等式 いくつかの等式は定義から直ちに得られる:
W ( x e x ) = x ( x ≥ 0 , x = − 1 ) W 0 ( x e x ) = x ( x ≥ − 1 ) W − 1 ( x e x ) = x ( x ≤ − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}W(xe^{x})&=x&(x\geq 0,\,x=-1)\\W_{0}(xe^{x})&=x&(x\geq -1)\\W_{-1}(xe^{x})&=x&(x\leq -1)\end{aligned}}} ここで、f (x ) = x⋅ex は単射でないから、W (f (x )) = x は常には成り立たないことに注意すべきである。x < 0 かつ x ≠ -1 なる x を固定して、方程式 x⋅ex = y⋅ey は y に関して二つの解を持ち、その一方はもちろん y = x である。もう一方の解は、W 0 の場合 x < -1 に、W −1 の場合 x ∈ (-1, 0) にある。これらを踏まえて、次の式を導くことができる。
W 0 ( x e x ) = y ( x < − 1 ) . {\displaystyle W_{0}(xe^{x})=y\quad (x<-1).} W − 1 ( x e x ) = y ( x > − 1 ) . {\displaystyle W_{-1}(xe^{x})=y\quad (x>-1).} W ( x ) e W ( x ) = x . {\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x.} e W ( x ) = x / W ( x ) . {\displaystyle e^{W(x)}=x/W(x).} W ( x ) = ln x − ln W ( x ) ( x ≥ − 1 / e ) . {\displaystyle W(x)=\ln x-\ln W(x)\quad (x\geq -1/e).} ln W ( x ) = ln x − W ( x ) ( x > 0 ) . {\displaystyle \ln W(x)=\ln x-W(x)\quad (x>0).} [9] W ( n x n / W ( x ) n − 1 ) = n W ( x ) ( n > 0 , x > 0 ) . {\displaystyle W(nx^{n}/W(x)^{n-1})=nW(x)\quad (n>0,x>0).} (これは正しく枝を選べば他の n, x に対しても拡張できる)f (ln(x )) を反転すれば
W ( x ln x ) = ln x = W ( x ) + ln W ( x ) ( x > 0 ) {\displaystyle W(x\ln x)=\ln x=W(x)+\ln W(x)\quad (x>0)} を得る。
オイラーの反復指数函数 h (x ) を用いれば
h ( x ) = e − W ( − ln ( x ) ) = W ( − ln ( x ) ) − ln ( x ) ( x ≠ 1 ) {\displaystyle h(x)=e^{-W(-\ln(x))}={\frac {W(-\ln(x))}{-\ln(x)}}\quad (x\neq 1)} を得る。
W を含む有用な積分公式がいくつか存在し、例えば以下のようなものが挙げられる:
一つ目の等式 ∫ 0 π W ( 2 cot 2 ( x ) ) sec 2 ( x ) d x = 4 π {\displaystyle \int _{0}^{\pi }W(2\cot ^{2}(x))\sec ^{2}(x)dx=4{\sqrt {\pi }}} はガウス積分 を極座標 で書き表すときに現れる。 ∫ 0 ∞ W ( x ) x x d x = 2 2 π . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.} 証明
u = W (x ) と置換すれば、
x = u e u , d x d u = ( u + 1 ) e u {\displaystyle x=ue^{u},\quad {\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}} で、
∫ 0 ∞ W ( x ) x x d x = ∫ 0 ∞ u u e u u e u ( u + 1 ) e u d u = ∫ 0 ∞ u + 1 u e u d u = ∫ 0 ∞ u + 1 u 1 e u d u = ∫ 0 ∞ u 1 2 e − u 2 d u + ∫ 0 ∞ u − 1 2 e − u 2 d u = 2 ∫ 0 ∞ ( 2 w ) 1 2 e − w d w + 2 ∫ 0 ∞ ( 2 w ) − 1 2 e − w d w ( u = 2 w ) = 2 2 ∫ 0 ∞ w 1 2 e − w d w + 2 ∫ 0 ∞ w − 1 2 e − w d w = 2 2 ⋅ Γ ( 3 2 ) + 2 ⋅ Γ ( 1 2 ) = 2 2 ( 1 2 π ) + 2 ( π ) = 2 2 π {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}\,du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}\,du\\&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\frac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\frac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\frac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma ({\tfrac {3}{2}})+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma ({\tfrac {1}{2}})\\&=2{\sqrt {2}}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }})+{\sqrt {2}}({\sqrt {\pi }})\\&=2{\sqrt {2\pi }}\end{aligned}}}
三つ目の式 ∫ 0 ∞ W ( 1 x 2 ) d x = 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }W({\tfrac {1}{x^{2}}})\,dx={\sqrt {2\pi }}} は、二つ目の式で u = 1/x 2 と置き換えることによって得られる。また一つ目の式はこの三つ目の式で z = tan(x ) ⁄√ 2 と置くことでも得られる。 分岐切断 (−∞, 1/e ] に沿う z を除けば(そのような z では以下の積分が確定しない)、ランベルト W 函数の主枝は、以下の積分
W ( z ) = z 2 π ∫ − π π ( 1 − ν cot ν ) 2 + ν 2 z + ν csc ν e − ν cot ν d ν = z π ∫ 0 π ( 1 − ν cot ν ) 2 + ν 2 z + ν csc ν e − ν cot ν d ν {\displaystyle W(z)={\frac {z}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\frac {(1-\nu \cot \nu )^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}d\nu ={\frac {z}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(1-\nu \cot \nu )^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}d\nu } によって計算できる[10] 。この二つの積分の値が等しいことは被積分函数の対称性による。
応用 指数関数を含む方程式の多くは、W関数を用いることで解くことができる。主な方針は、未知数 を含む項を方程式の左辺(あるいは右辺)に寄せ、W関数で解を表現できる x e x {\displaystyle xe^{x}} の形にすることである。例えば、方程式 2 t = 5 t {\displaystyle 2^{t}=5t} を解くには、両辺に − ln 2 ⋅ 2 − t 5 {\displaystyle -{\frac {\ln 2\cdot 2^{-t}}{5}}} を掛け、 − ln 2 5 = − t ln 2 ⋅ e − t ln 2 {\displaystyle -{\frac {\ln 2}{5}}=-t\ln 2\cdot e^{-t\ln 2}} を得る。
ここで、両辺のW関数をとれば、 W ( − ln 2 5 ) = − t ln 2 {\displaystyle W\left(-{\frac {\ln 2}{5}}\right)=-t\ln 2} 、即ち t = − W ( − ln 2 5 ) ln 2 = 0.235 … , 4.488 … {\displaystyle t=-{\frac {W\left(-{\frac {\ln {2}}{5}}\right)}{\ln {2}}}=0.235\dots ,4.488\dots } となる。
同様の方法で、x x = z の解は、
x = ln ( z ) W ( ln ( z ) ) {\displaystyle x={\frac {\ln(z)}{W(\ln(z))}}}
あるいは
x = exp ( W ( ln ( z ) ) ) {\displaystyle x=\exp(W(\ln(z)))}
となる。
複素数の無限回の累乗
z z z ⋯ {\displaystyle z^{z^{z^{\cdots }}}\!}
が収束するとき、ランベルトのW関数を用いれば、その極限値 を次のように表現できる。
c = W ( − log ( z ) ) − log ( z ) {\displaystyle c={\frac {W(-\log(z))}{-\log(z)}}}
ただし、log(z ) は複素対数函数 の主値 とする。
一般化 通常のランベルト W は x に関する
e − c x = a 0 ( x − r ) {\displaystyle e^{-cx}=a_{0}(x-r)}
(1 )
の形(ただし、a 0 , c , r は実定数)の「超越代数」方程式の厳密解 x = r + 1 / c W (ce −cr / a 0 ) を記述することができる。
ランベルト W 函数の一般化[11] [12] [13] [14] として以下のようなものを挙げることができる:
e − c x = a 0 ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) {\displaystyle e^{-cx}=a_{0}(x-r_{1})(x-r_{2})}
(2 )
を考える。ここで、この二次多項式の根 r 1 , r 2 は相異なる実定数とする。この方程式の解は一つの引数 x を持つ函数だが、ri や a 0 のような項は解函数のパラメータとして働く。そのような側面で見れば、この一般化は超幾何函数 や(メイヤーG函数 )(英語版) を作るのと似たような方式とも思えるが、これらの函数とは異なる「クラス」に属する。r 1 = r 2 のときは、式 2 の両辺は因数分解できて、1 に帰着されるから、解函数も通常の W 函数に還元される。式 2 はディラトン 場を支配する方程式を表すから、それにより不等静止質量の場合に対する 1+ 1 -次元(空間一次元・時間一次元)における (R=T )(英語版) あるいは「直列」(lineal ) 二体重力問題の計量や、一次元の不等電荷に対する量子力学的(二重井戸型デルタ函数モデル )(英語版) の固有エネルギーが導かれる。 量子力学的(三体問題 )(英語版) の特別の場合、具体的には(三次元)水素分子イオン [16] の固有エネルギーの解析解の場合、今度は式 1 の(あるいは式 2 の)右辺を x に関する無限次多項式の比とした e − c x = a 0 ∏ i = 1 ∞ ( x − r i ) ∏ i = 1 ∞ ( x − s i ) {\displaystyle e^{-cx}=a_{0}{\frac {\prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}}
(3 )
を考える。各 ri , si は実定数、x は固有エネルギーと核間距離 R の函数である。式 3 は、その特別の場合として式 1 および 2 も含めて、(遅延微分方程式 )(英語版) の成す大きなクラスに関係する。 "W " 函数の基礎物理問題への応用は、1 で表される通常の W 函数の場合でさえも、近年の(原子分子光学物理学 )(英語版) の分野に見られる[17] ように、尽くされてはいない。
複素平面上のグラフ Plots of the Lambert W function on the complex plane Superimposition of the previous three plots
数値的評価 W 函数はニュートン法 を用いて近似することができて、w = W (z ) (したがって z = wew )に対する逐次近似は
w j + 1 = w j − w j e w j − z e w j + w j e w j {\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}} として与えられる。また、(ハレー法 )(英語版) を用いた近似
w j + 1 = w j − w j e w j − z e w j ( w j + 1 ) − ( w j + 2 ) ( w j e w j − z ) 2 w j + 2 {\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}} を Corless et al. (1996) は W の計算において与えている。
ソフトウェア実装 W 函数の実装は:
LambertW in Maple, lambertw
in GP (glambertW
in PARI), lambertw
in MATLAB,[18] lambertw
in octave with the 'specfun' package, lambert_w
in Maxima,[19] ProductLog
(with a silent alias LambertW
) in Mathematica,[20] lambertw
in Python scipy's special function package[21] gsl_sf_lambert_W0
and gsl_sf_lambert_Wm1
functions in special functions section of the GNU Scientific Library - GSL.などがある。
関連項目 (重み付きオメガ函数 )(英語版) ランベルトの(三項方程式 ) (ラグランジュの反転定理 )(英語版) 実験数学 (ホルスタイン–ヘーリング法 )(英語版) (R=Tモデル )(英語版) (ロスのπ補題 )(英語版)
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外部リンク
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National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W Weisstein, Eric W . "Lambert W -Function ". MathWorld (英語). Corless et al. Notes about Lambert W research GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration. Special Functions of the GNU Scientific Library - GSL An implementation of the Lambert W function for C99