ランダムウォーク

吉住渉の漫画については「ランダム・ウォーク (漫画)」をご覧ください。

ランダムウォーク（英: random walk）は、次に現れる位置が確率的に無作為（ランダム）に決定される運動である。日本語の別名は酔歩（すいほ）、乱歩（らんぽ）である。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。

2次元ランダムウォークの軌跡。

ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス^[1][2]等の具体的モデル化に盛んに応用される。

数学的定義

X_n (n = 1, 2, ...) を独立かつ同分布な R^d 値確率変数族とする。この時、

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$ 

を（d 次元）ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。

特に、X_n が Z^d 値であり、かつ、

${\displaystyle P(X_{n}=\mathbf {e} _{j})=P(X_{n}=-\mathbf {e} _{j})={\frac {1}{2d}}}$ 

（${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$  は、第 j 成分が 1 の単位ベクトル）である時、S_n を（d 次元）単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。

直接的一般化として、結晶格子（結晶構造の抽象化）上のランダムウォークが定式化され、中心極限定理と大偏差の性質が小谷と砂田により証明されている^[3][4]。

例

 

確率密度関数 ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$  のグラフ

コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右（正の方向）に進め、裏が出た場合に点を左（負の方向）に進める試行（1次元のランダムウォーク）を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合${\displaystyle x}$ の分布は、${\displaystyle {\tfrac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$ の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は${\displaystyle 1-x}$ ）。これは${\displaystyle x=0}$ および${\displaystyle x=1}$ で無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる^[5][6]。

基本的性質

1. 再帰性

   1または2次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3次元以上のランダムウォークは非再帰的である。^[7][8]

2. Donsker の定理の系

   X_n (n = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、

   ${\displaystyle S_{t}=S_{n}\quad {\mbox{ if }}t=n,\quad {\mbox{ linear }}{\mbox{ if }}n<t<n+1}$ 

   で定義すると、各 t ≧ 0 に対して次が成立する。

   ${\displaystyle P\left(\left|{\frac {S_{nt}}{\sqrt {n}}}-B_{t}\right|<\varepsilon \right)\rightarrow 0\quad {\mbox{ for all }}\varepsilon >0}$ 

応用

レビのダスト

宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が冪級数で与えられるようなランダムウォーク。

(自己回避ランダムウォーク)（英語版）^[9]

軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。高分子の幾何学的構造^[10]、海岸線などのモデル（自己相似）として利用されている。

脚注

1. ^ ウィーナー過程フィナンシャル・アーティスト・アカデミー株式会社
2. ^ Log normal distributionニューメリカルテクノロジーズ株式会社
3. ^ M. Kotani, T. Sunada (2003). “Spectral geometry of crystal lattices”. Contemporary. Math. 338: 271–305. doi:10.1090/conm/338/06077. 
4. ^ M. Kotani, T. Sunada (2006). “Large deviation and the tangent cone at infinity of a crystal lattice”. Math. Z. 254: 837–870. doi:10.1007/s00209-006-0951-9. 
5. ^ ランダムウォークに関する話題から ―逆正弦法則について―小杉のぶ子（東京海洋大学 海洋工学部）
6. ^ “つき”の数理-逆正弦法則について^[]大阪大学基礎工学研究科会田研究室
7. ^ ランダムウォーク^[]
8. ^ 電気回路とランダム・ウォーク2002年3月17日 確率統計委員会・深川久（豊中高校）
9. ^ 井上純一 (2004年). “確率モデルを用いたフラクタル図形の作成に関する実験手引書” (pdf). 北海道大学. p. 12. 2020年5月18日閲覧。
10. ^ ランダムウォークと統計力学岡部豊^[]

関連項目

• カオス理論
• ランダム・ウォーク理論
• 確率過程
• マルコフ過程
• マルコフ連鎖
• マルコフ連鎖モンテカルロ法
• ブラウン運動
• 量子ウォーク
• 量子ランダムウォーク