対称性
ベータ関数は次のような対称性を持つ.
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証明
置換積分による計算を行う. とおくと, であり, また積分区間は から へと変化するから,
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したがって, が示された.
関数等式
ベータ関数は次の関係式を満たす.
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積分表示
(変数変換)を行うことで, 以下の形にも表示できる. いずれも, 定義域は , である。
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ポッホハマーの表示
のリーマン面上の積分路として, 実軸上の 内の点から出発し, を正の向きに, を正の向きに, を負の向きに, を負の向きの順で回って, 元の点に戻る(ポッホハマーの積分路)(英語版)を取れば, 次のポッホハマーの表示が成り立つ.
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ガンマ関数との関係
ベータ関数は, 次のようにガンマ関数と結び付く.
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級数表示
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ただし, は下降階乗冪:
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である.
無限乗積表示
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評価
スターリングの公式より, 複素数 , の実部が十分大きな正の値であるとき,
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一方, が十分大きく が固定されているとき,
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特殊値
複素数 に対して, 以下が成り立つ.
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特に,
非負の整数 , に対して, 以下が成り立つ.
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