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ピタゴラスの定理

初等幾何学におけるピタゴラスの定理ピタゴラスのていり: Pythagorean theorem)は、直角三角形の3の長さの間に成り立つ関係について述べた定理である。その関係は、斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを a, b とすると、

ピタゴラスの定理
種類 定理
分野 ユークリッド幾何学
声明 2辺 (a, b) 上の2つの正方形の面積の和は、斜辺 (c) 上の正方形の面積に等しくなる。
数式
一般化
結果

という等式の形で述べられる[1][2][3]

日本では三平方の定理さんへいほうのていりとも呼ばれていて、勾股弦の定理こうこげんのていりという呼称もある。

ピタゴラスの定理によって、直角三角形において2辺の長さが分かっていれば、残りの1辺の長さを計算することができる。例えば、2次元直交座標系において、座標が分かっている2点間の距離を求めることができる。2点間の距離は、2点の各座標の差の 2乗の総和の平方根となる[注 1]。このことは3次元直交座標系でも成り立つ。このようにして一般の有限次元直交座標系に対して導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。

定理の概要

直角三角形において、斜辺長さc、直角をはさむ 2辺の長さを a, b とすると、次の等式が成り立ち、「ピタゴラスの定理」と呼ばれる:

 

ここで a, b, c はいずれも正であるから、2辺の長さから残りの辺の長さを、次のように計算できる:

 
 
 

この定理は、余弦定理によって一般の三角形に拡張される:任意の三角形において、1つの内角の大きさとそれをはさむ2辺の長さから残りの辺(対辺)の長さを計算できる。特にここで考えている内角の大きさが直角の場合、余弦定理はピタゴラスの等式に帰着する。

歴史

ピタゴラス直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」などいくつかの逸話が伝えられているが、実際にピタゴラスが発見したかどうかは正確には判っていない。

ピタゴラスの定理の内容は歴史上の文献にいくつか著されているが、どれだけあるのかは議論がある。ピタゴラスが生まれる前からピタゴラスの定理は広く知られていた。

判明しているもので最初期のものは、ピタゴラスが生まれる1000年以上前のバビロン第1王朝時代ごろ(紀元前20世紀から16世紀の間)とされる[4][5][6][7]

エジプト数学[8]バビロニア数学などでもピタゴラス数については記述があるが、定理を発見していたかまでは定かではない。

紀元前2000年から1786年ごろに書かれた古代エジプトエジプト中王国パピルス(Berlin Papyrus 6619)(英語版)』には定理に関わる部分が欠けている。バビロニアの粘土板プリンプトン322』には、ピタゴラスの定理に関わる要素が数多く含まれている。

インドの紀元前5-8世紀に書かれた『シュルバ・スートラ』などにも定理に関わる文章が見られる[9]。しかし、これはバビロニア数学の影響を受けた結果ではないかという推測もされているが、結論には至っていない[10]

紀元前3世紀に書かれたユークリッド原論では、第1巻の命題47で言及されている。

 
周髀算経』におけるピタゴラスの定理の証明(中国語: 句股冪合以成弦冪

中国古代においては、『周髀算経』(紀元前2世紀前後)や『九章算術』の数学書でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理商高定理等と呼んで説明している。

 
レオナルド・ダ・ヴィンチによるピタゴラスの定理の証明。橙色の部分を 90度回転し、緑色の部分は裏返して図の位置にできる。

「ピュタゴラス(ピタゴラス)の定理」という呼称が一般的になったのは、西洋においても少なくとも20世紀に入ってからである[11]

日本での呼称

日本の和算でも、中国での呼称を用いて鉤股弦の法こうこげんのほう等と呼んでいた[12][13]

日本の明治時代の中等学校の教科書では「ピュタゴラスの定理」と呼ばれていた。

現在、ピタゴラスの定理は「三平方の定理」とも呼ばれているが、「三平方の定理」と呼ばれるようになったのは1942年(昭和17年)の太平洋戦争開始後のことである[11]

このときに「鉤股弦の定理」とする案などもあったが、末綱恕一(東大教授)の発案で「三平方の定理」に改められたとされる。

ピタゴラス数

直角三角形の3辺の具体的な長さで整数のものは、ピタゴラスの定理の項目の中で古くから知られた[11]。例えば、紀元前1800年ごろのバビロニアの粘土板には、3辺の長さの表(例えば 49612 + 64802 = 81612 のようなもの)が出ている。

a2 + b2 = c2 を満たす自然数の組 (a, b, c)ピタゴラス数またはピタゴラスの三つ組数 (Pythagorean triple) という。特に、a, b, c互いに素であるピタゴラス数 (a, b, c)原始的 (primitive) あるいは (coprime) であるといい、そのようなピタゴラス数は原始ピタゴラス数 (primitive Pythagorean triple) などと呼ばれる。全てのピタゴラス数は原始ピタゴラス数 (a, b, c) の正の整数倍 (ka, kb, kc) で表されるから、ピタゴラス数のリストを知るには、原始ピタゴラス数が本質的である。

ピタゴラス数 (a, b, c) が原始的であるためには、3つのうちある2つが互いに素であれば十分である。原始ピタゴラス数の小さい方のリストは、c < 100 で、a < b とすると次の通りである[14]

(a, b, c) = (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

ピタゴラス数の性質

ピタゴラス数 (a, b, c) には、次の性質がある。

  • a または b4 の倍数
  • a または b3 の倍数
  • a または b または c5 の倍数

自然数の組 (a, b, c) が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数 m, n

  • m, n は互いに素
  • m > n
  • mn の偶奇が異なる(一方が偶数で他方が奇数

を満たすとして、

(a, b, c) = (m2n2, 2mn, m2 + n2) または (2mn, m2n2, m2 + n2)

であることが必要十分である[15][16]。上記の (m, n) は無数に存在し重複がないので、原始ピタゴラス数は無数に存在し、すべての原始ピタゴラス数を重複なく列挙できる。

例えば

(m, n) = (2, 1) のとき (a, b, c) = (3, 4, 5)
(m, n) = (3, 2) のとき (a, b, c) = (5, 12, 13)
(m, n) = (4, 1) のとき (a, b, c) = (8, 15, 17)

である。a < b を満たす原始ピタゴラス数を a の昇順に並べた一覧表は以下のようになる[17]

原始ピタゴラス数の一覧表
# m n a b c
1 2 1 3 4 5
2 3 2 5 12 13
3 4 3 7 24 25
4 4 1 8 15 17
5 5 4 9 40 41
6 6 5 11 60 61
7 6 1 12 35 37
8 7 6 13 84 85
9 8 7 15 112 113
10 8 1 16 63 65
11 9 8 17 144 145
12 10 9 19 180 181
13 5 2 20 21 29
14 10 1 20 99 101
15 11 10 21 220 221
16 12 11 23 264 265
17 12 1 24 143 145
18 13 12 25 312 313
19 14 13 27 364 365
20 7 2 28 45 53
21 14 1 28 195 197
22 15 14 29 420 421
23 16 15 31 480 481
24 16 1 32 255 257
25 7 4 33 56 65
# m n a b c
26 17 16 33 544 545
27 18 17 35 612 613
28 9 2 36 77 85
29 18 1 36 323 325
30 19 18 37 684 685
31 8 5 39 80 89
32 20 19 39 760 761
33 20 1 40 399 401
34 21 20 41 840 841
35 22 21 43 924 925
36 11 2 44 117 125
37 22 1 44 483 485
38 23 22 45 1012 1013
39 24 23 47 1104 1105
40 8 3 48 55 73
41 24 1 48 575 577
42 25 24 49 1200 1201
43 10 7 51 140 149
44 26 25 51 1300 1301
45 13 2 52 165 173
46 26 1 52 675 677
47 27 26 53 1404 1405
48 28 27 55 1512 1513
49 28 1 56 783 785
50 11 8 57 176 185
# m n a b c
51 29 28 57 1624 1625
52 30 29 59 1740 1741
53 10 3 60 91 109
54 15 2 60 221 229
55 30 1 60 899 901
56 31 30 61 1860 1861
57 32 31 63 1984 1985
58 32 1 64 1023 1025
59 9 4 65 72 97
60 33 32 65 2112 2113
61 34 33 67 2244 2245
62 17 2 68 285 293
63 34 1 68 1155 1157
64 13 10 69 260 269
65 35 34 69 2380 2381
66 36 35 71 2520 2521
67 36 1 72 1295 1297
68 37 36 73 2664 2665
69 14 11 75 308 317
70 38 37 75 2812 2813
71 19 2 76 357 365
72 38 1 76 1443 1445
73 39 38 77 2964 2965
74 40 39 79 3120 3121
75 40 1 80 1599 1601

また、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは一般のピタゴラス数 (a, b, c) に対して、S = 1/2ab(直角三角形の面積)は平方数でないことを無限降下法により証明した[18]

Jesmanowicz 予想

1956年に Jesmanowicz が次の予想を提出した:

(a, b, c) を原始ピタゴラス数、n を自然数とする。方程式:
 
の自然数解 (x, y, z)
 
のみである。

特別なピタゴラス数

  • 直角を作る a, b の長さが連続するピタゴラス数は
(3, 4, 5), (20, 21, 29), (119, 120, 169), …オンライン整数列大辞典の数列 (A114336))
である。この問題はフランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが出題し、解も発見した[19]
  • 斜辺 c と他の2辺の和 a + b が両方とも平方数になる最小のピタゴラス数は
a = 4565486027761, b = 1061652293520, c = 4687298610289
である。この問題はフランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが出題し、解も発見した[20]
  • ピタゴラス数 (a, b, c) において a, b の差が 1 で、c平方数になるのは (119, 120, 169) に限られる[21]
1192 + 1202 = (132)2.
  • 3辺の長さが a, b, c の直角三角形と、周の長さと面積の両方が同じ値となる、すべての辺の長さが整数である二等辺三角形が存在するならば、そのような直角三角形は全て相似であり、最小の (a, b, c) の値は、(135, 352, 377) である[22]

一般化

角の一般化

第二余弦定理

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

はピタゴラスの定理を C = π/2 = 90° → cos C = 0 の場合として含む。 つまり、第二余弦定理はピタゴラスの定理を一般の三角形に対して拡張した定理になっている。

指数の一般化

指数の 2 の部分を一般化すると

an + bn = cn

となる。n = 2 の場合、自明(つまり a, b, c の少なくとも1つが 0)や既知解(原始ピタゴラス数の定数倍)を除いても、整数解は実質無数に存在するが、n ≥ 3 の場合は非自明な整数解は存在しない。

次元の一般化

3次元空間内に平面があるとき、その閉領域 S の面積は、yz 平面、zx 平面、xy 平面への射影の面積 Sx, Sy, Sz を用いて

 

と表される。これは高次元へ一般化できる。

ピタゴラスの定理の証明

この定理には数百通りもの異なる証明がある。

相似による証明

 
相似を用いた証明

頂点 C から斜辺 AB に下ろした垂線の足を H とする。△ABC△ACH相似である。ゆえに

 

であり、同様に

 

である。したがって

 

であるから、両辺に c を掛けて

 

を得る。

三角比による証明

前節の証明は、三角比を用いると簡単に表記できる:

 

本証明を一般の三角形に拡張すると、第二余弦定理の証明が得られる。

外接円を用いた証明

 
外接円を用いた証明

∠C = 90° のとき、斜辺AB を直径とする円O を描くことができる。

このとき点C から直径AB に下ろした垂線の足を H とし、△CHO に対して三平方の定理を証明する。OA = OB = OC = c, CH = a, OH = b とする。

△AHC ∽ △BHC なので、

HA : HC = HC : HB
(OA − OH) : HC = HC : (OB + OH)
(cb) : a = a : (c + b)
c2b2 = a2
a2 + b2 = c2 ◾️

正方形を用いた証明

 
正方形を用いた証明

△ABC合同な4個の三角形を右図のように並べると、外側に一辺が a + b正方形(以下「大正方形」)が、内側に一辺が c の正方形(以下「小正方形」)ができる。

(大正方形の面積)=(小正方形の面積)+(直角三角形の面積)× 4

である。大正方形の面積(a + b)2, 小正方形の面積は c2, 直角三角形1個の面積は   である。これらを代入すると、

 

整理して

 

を得る。

 

内接円を用いた証明

△ABC において、内接円の半径 r を用いて面積 S を表すと

 
(1)

となるが、∠C = 90°より、

 
(2)
 
(3)

となるから、(1)(2), (3) を代入すると

 

整理すると

 

が得られる。

オイラーの公式を用いた証明

三角関数と指数関数は冪級数によって定義されているものとする。(指数法則やオイラーの公式の証明に本定理が使用されない定義であればよい。)まず sin2 θ + cos2 θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つことを(3通りの方法で)示す。

オイラーの公式より

 

または

 

もしくは、オイラーの公式から三角関数の半角の公式を導出する。

 
 [23][24]
(1)

(1) の式はピタゴラスの基本三角関数公式 (Fundamental Pythagorean trigonometric identity) と呼ばれている[25]

(1) の時点ですでに単位円上において本定理の成立が明らかである。なぜならば、実数の範囲では、単位円上の偏角 θ の点の座標として定義した (cos θ, sin θ) と上記の冪級数による定義は一致するからである[26]

前提とした △ABC について、∠A = θ とおけば

 
(2)
 
(3)

(1), (2), (3) より

 

ゆえに

 

が得られる。

三角関数の微分公式を用いた証明

正弦および余弦関数を微分すれば

 
(1)
 
(2)

(1), (2) および微分公式より

 

したがって

 

ここで C は定数である。θ = 0 を代入すると sin 0 = 0, cos 0 = 1 であるので、C = 1 が得られる。よって

 
(3)

が得られる[24]

あとは前節と同様にして

 

が得られる。

三角関数の不定積分を用いた証明

下記のように関数を定める。

 

上記を漸化式を利用して不定積分すると

 

である[27]微分積分学の基本定理を考慮し、これを微分すると

 

である。したがって

 

ゆえに、ピタゴラスの定理は成立する。

三角関数の加法定理を用いた証明

三角関数の加法定理は、三平方の定理を使わないで証明できる。本定理を使わないで証明した、三角関数の加法定理を使うと、

 

または

 

が得られる[28][29]。 また、加法定理から導かれる(半角公式)を適用すると

 
 

したがって

 

が得られる。

あとはこれまでと同様にして

 

が得られる[28]

冪級数展開を用いた証明

三角関数は級数によって定義されているものとし、cos θsin θ の自乗をそれぞれ計算すると

 

となる[注 2]。ここで二項定理より

 

である。したがって

 

が得られる。

あとはこれまでと同様にして

 

が得られる[30]

回転行列を用いた証明

平面において原点を中心とする角 θ回転の表現行列は

 

であるが、このことも三平方の定理を用いないで証明が可能である。

R(θ) R (−θ) = I2単位行列)であるが[31]、この式の左辺を直接計算すると

 

となる[32]。したがって

 

が得られる[33]

あとはこれまでと同様にして

 

が得られる。

三角関数と双曲線関数を用いた証明

任意の zC に対し

 

である[34][35]。よって任意の θC に対して

 

が成り立つ。

あとはこれまでと同様にして

 

が得られる。

ピタゴラスの定理の逆

ピタゴラスの定理は、も真となる。すなわち、△ABC に対して

 

が成立すれば、△ABC∠C = π/2 の直角三角形となる。

証明

ピタゴラスの定理に依存しない証明

 
ピタゴラスの定理に依存しない証明

△ABCa2 + b2 = c2 を満たすとする。線分 ABb2 : a2 に内分する点を D とすると

 

である。これより

 

であるから(2辺比夾角相等)より  

 

同様に

 

となるから

 
(1)

となる。

(1) より

 
(2)

一方

 
(3)

であるから、(2), (3) より

 
(4)

(1), (4) より

 

ゆえに △ABC∠C = π/2 の直角三角形である[26]

同一法を用いた証明

 
ピタゴラスの定理を用いた証明

B'C' = a, A'C' = b,∠C' = π/2 である直角三角形 A'B'C' において、A'B' = c' とすれば、ピタゴラスの定理より

 
(1)

が成り立つ。 一方、仮定から △ABC において

 
(2)

が成り立っている。(1), (2) より

 

c > 0, c' > 0 より

 

したがって、(3辺相等)から

 

∴ ∠C = ∠C' = π/2。ゆえに △ABC∠C = π/2 の直角三角形である[26]

対偶を用いた証明

△ABC において ∠C ≠ π/2 であると仮定する。頂点 A から直線 BC に下ろした垂線の足を D とし、AD = h, CD = d とする。

∠C < π/2 の場合、直角三角形 ABD においてピタゴラスの定理より

 

であり、同様に直角三角形 ACD では

 

である。よって

 

となる。

∠C > π/2 の場合も同様に考えて

 

ゆえに

 

となる。

よっていずれの場合も

 

である。対偶を取って、a2 + b2 = c2 ならば ∠C = π/2 である。

なお、この証明から分かるように、

  • ∠C < π/2a2 + b2 > c2
  • ∠C = π/2a2 + b2 = c2
  • ∠C > π/2a2 + b2 < c2

という対応がある。

余弦定理を用いた証明

 
余弦定理を用いた証明

ピタゴラスの定理は既知とすると、それより導かれる余弦定理を用いることができる。△ABC において、a = BC, b = CA, c = AB, C = ∠ACB とおくと、余弦定理より

 

一方、仮定より

 

であるから

 

となる。三角形の内角の和は π であるから 0 < C < π より、

 

ゆえに △ABC∠C = π/2 の直角三角形である。

ベクトルを用いた証明

△ABC において

 

であり

 

である。 ここで

 

である。したがって

 

である。よって

 

である。ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

  1. ^ 2次元直交座標系においては、原点O(0, 0) と点P(x, y) の距離は x2 + y2 と表すことができる。ここで は負でない平方根を表す。
  2. ^ 級数の収束半径は であるからこれは任意の複素数 θ に対して成り立つ。

出典

  1. ^ 大矢真一『ピタゴラスの定理』東海大学出版会〈Tokai library〉、2001年8月。ISBN (4-486-01558-4)http://www.press.tokai.ac.jp/bookdetail.jsp?isbn_code=ISBN978-4-486-01558-1 
  2. ^ 大矢真一『ピタゴラスの定理』東海大学出版会〈東海科学選書〉、1975年。 
  3. ^ 大矢真一『ピタゴラスの定理』東海書房、1952年。 
  4. ^ Neugebauer 1969: p.36 "In other words it was known during the whole duration of Babylonian mathematics that the sum of the squares on the lengths of the sides of a right triangle equals the square of the length of the hypotenuse."
  5. ^ Friberg, Jöran (1981). “Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations”. Historia Mathematica 8: 277-318. doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0. https://www.researchgate.net/publication/222892801. : p.306 "Although Plimpton 322 is a unique text of its kind, there are several other known texts testifying that the Pythagorean theorem was well known to the mathematicians of the Old Babylonian period."
  6. ^ Høyrup, Jens. "Pythagorean 'Rule' and 'Theorem' – Mirror of the Relation Between Babylonian and Greek Mathematics". In Renger, Johannes (ed.). Babylon: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft 24.–26. März 1998 in Berlin (PDF). Berlin: Deutsche Orient-Gesellschaft / Saarbrücken: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. pp. 393–407., p.406, "To judge from this evidence alone it is therefore likely that the Pythagorean rule was discovered within the lay surveyors’ environment, possibly as a spin-off from the problem treated in Db2-146, somewhere between 2300 and 1825 BC." ((IM 67118)(英語版)(Db2-146) is an Old Babylonian clay tablet from (Eshnunna) concerning the computation of the sides of a rectangle given its area and diagonal.)
  7. ^ Robson, E. (2008). Mathematics in Ancient Iraq: A Social History. Princeton University Press : p.109 "Many Old Babylonian mathematical practitioners … knew that the square on the diagonal of a right triangle had the same area as the sum of the squares on the length and width: that relationship is used in the worked solutions to word problems on cut-and-paste ‘algebra’ on seven different tablets, from Ešnuna, Sippar, Susa, and an unknown location in southern Babylonia."
  8. ^ 亀井喜久男. “エジプトひもで古代文明に挑戦しよう”. 2008年3月3日閲覧。
  9. ^ Kim Plofker (2009). Mathematics in India. Princeton University Press. pp. 17–18. ISBN (978-0-691-12067-6) 
  10. ^ Carl Benjamin Boyer; Uta C. Merzbach (2011). “China and India”. A history of mathematics (3rd ed.). Wiley. p. 229. ISBN (978-0470525487). https://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ. "Quote: [In Sulba-sutras,] we find rules for the construction of right angles by means of triples of cords the lengths of which form Pythagorean triages, such as 3, 4, and 5, or 5, 12, and 13, or 8, 15, and 17, or 12, 35, and 37. Although Mesopotamian influence in the Sulvasũtras is not unlikely, we know of no conclusive evidence for or against this. Aspastamba knew that the square on the diagonal of a rectangle is equal to the sum of the squares on the two adjacent sides. Less easily explained is another rule given by Apastamba – one that strongly resembles some of the geometric algebra in Book II of Euclid's Elements. (...)" 
  11. ^ a b c 片野善一郎『数学用語と記号ものがたり』裳華房、2003年8月25日、157頁。 
  12. ^ コラム ピタゴラスの定理 江戸の数学 国立国会図書館
  13. ^ 金光三男、安井孜、花木良、河上哲、山中 聡恵 (2013). “教師に必要な数学的素養の育成 : 教科内容の背景にある数学 (数学教師に必要な数学能力に関連する諸問題)”. 数理解析研究所講究録 (京都大学数理解析研究所) 1828: 105. https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1828-05.pdf. 
  14. ^ a の順序はオンライン整数列大辞典の数列 (A020884)による。b, c を昇順に並べると、それぞれオンライン整数列大辞典の数列 (A020883)およびオンライン整数列大辞典の数列 (A020882)になる。
  15. ^ 足立 (1995, pp. 31–34, 106–109)
  16. ^ 足立 (2006, pp. 19–22, 49–55)
  17. ^ a の順序はオンライン整数列大辞典の数列 (A020884)による。
  18. ^ 足立 (2006, pp. 93–95, 99–101)、高瀬 (2019, pp. 114–115, 180)
  19. ^ 高瀬 (2019, pp. 99–101, 147–149)
  20. ^ 高瀬 (2019, pp. 151, 174–177)、オンライン整数列大辞典の数列 (A166930)を参照。ただしオンライン数列内のコメント内にある a の値が間違っているので注意が必要。
  21. ^ 『数学セミナー』通巻673号、日本評論社、2017年11月、52頁。 
  22. ^ 世界に1つだけの三角形の組 慶應義塾大学理工学部KiPAS、2018年9月12日
  23. ^ 稲津將. “オイラーの公式”. 2014年10月4日閲覧。
  24. ^ a b 新関章三(元高知大学)、矢野忠(元愛媛大学). “数学・物理通信”. 2014年10月4日閲覧。
  25. ^ Leff, Lawrence S. (2005). PreCalculus the Easy Way (7th ed.). Barron's Educational Series. p. 296. ISBN (0-7641-2892-2). https://books.google.co.jp/books?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296&redir_esc=y&hl=ja 
  26. ^ a b c “”. 2014年10月8日閲覧。
  27. ^ 不定積分の漸化式
  28. ^ a b “三平方の定理の証明”. 2014年10月5日閲覧。
  29. ^ “Einige spezielle Funktionen”. 2014年11月26日閲覧。
  30. ^ Hamilton, James Douglas (1994). “Power series”. Time series analysis. Princeton University Press. p. 714. ISBN (0-691-04289-6) 
  31. ^ “行列と1次変換”. 2014年11月22日閲覧。
  32. ^ “対称行列と直交行列”. 2014年11月20日閲覧。
  33. ^ “Solution for Assignment”. 2014年11月20日閲覧。
  34. ^ “双曲線関数について”. 2014年11月22日閲覧。
  35. ^ “Complex Analysis Solutions”. 2014年11月22日閲覧。

参考文献

  • 足立恒雄『フェルマーの大定理が解けた! オイラーからワイルズの証明まで』講談社ブルーバックス B-1074〉、1995年6月。ISBN (978-4-06-257074-9)。 
  • 足立恒雄『フェルマーの大定理 整数論の源流』筑摩書房〈ちくま学芸文庫 ア24-1 Math & Science〉、2006年9月。ISBN (978-4-480-09012-6)。 
  • 出光英則 著、銀林浩 編 編『ピタゴラスがくれたおくり物 ピタゴラスの定理』国土社〈数学ワンダーランド 7〉、1997年8月。ISBN (978-4-337-56207-3)。 
  • カプラン, ロバート、カプラン, エレン 著、水谷淳 訳『数学の隠れたハーモニー ピタゴラスの定理のすべて』ソフトバンククリエイティブ、2011年12月。ISBN (978-4-7973-6467-5)。  — 原題:Hidden harmonies.
  • シルヴァーマン, ジョセフ・H 著、鈴木治郎 訳『はじめての数論 発見と証明の大航海 ピタゴラスの定理から楕円曲線まで』(原著第3版)丸善出版、2014年5月。ISBN (978-4-621-06620-1)。  — 原題:A friendly introduction to number theory (3rd ed.).
  • 高瀬正仁『フェルマ 数と曲線の真理を求めて』現代数学社〈双書・大数学者の数学 17〉、2019年1月。ISBN (978-4-7687-0500-1)。 
  • マオール, エリ 著、伊理由美 訳『ピタゴラスの定理 4000年の歴史』岩波書店、2008年2月。ISBN (978-4-00-005878-0)。  — 原題:The Pythagorean theorem.
  • 森下四郎『ピタゴラスの定理100の証明法 幾何の散歩道』(改訂版)プレアデス出版、2010年8月。ISBN (978-4-903814-36-0)。 
  • 森下四郎『ピタゴラスの定理をめぐる2つの謎 三平方の定理の謎』プレアデス出版、2010年12月。ISBN (978-4-903814-39-1)。 

関連項目

外部リンク

  • 百科事典マイペディア『(ピタゴラスの定理)』 - コトバンク
  • 日本大百科全書『(三平方の定理)』 - コトバンク
  • Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem". MathWorld (英語).
  • Weisstein, Eric W. "Pythagorean Triple". MathWorld (英語).
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