この節では、添字 は 1 から n の間の値をとるものとする。
2階(1, 1) 型テンソル としてのクロネッカーのデルタは
δ ν μ = { 1 ( μ = ν ) 0 ( μ ≠ ν ) {\displaystyle \delta _{\nu }^{\mu }={\begin{cases}1&\quad (\mu =\nu )\\0&\quad (\mu \neq \nu )\end{cases}}} である。
これを高階に拡張したものとして、n 次元、2p 階の一般化されたクロネッカーのデルタ がある。これは (p , p ) 型テンソルで、上下それぞれの添字に対して反対称 である。
定義 一般化されたクロネッカーのデルタの定義は
δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p = { + 1 (even) − 1 (odd) 0 (otherwise) {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}={\begin{cases}+1&\quad {\text{(even)}}\\-1&\quad {\text{(odd) }}\\\;\;0&\quad {\text{(otherwise)}}\end{cases}}} である[1] [2] 。
なお、" even {\displaystyle {\text{even}}} " は ν 1 , ν 2 , … , ν p {\displaystyle \nu _{1},\nu _{2},\dotsc ,\nu _{p}} が全て異なり、かつ、 μ 1 , μ 2 , … , μ p {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\dotsc ,\mu _{p}} の(偶置換 )の場合を指し、" odd {\displaystyle {\text{odd}}} " は ν 1 , ν 2 , … , ν p {\displaystyle \nu _{1},\nu _{2},\dotsc ,\nu _{p}} が全て異なり、かつ、 μ 1 , μ 2 , … , μ p {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\dotsc ,\mu _{p}} の(奇置換 )の場合を指し、" otherwise {\displaystyle {\text{otherwise}}} " は上記以外のすべての場合を指す。
S p {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{p}} を p 次の対称群 とすれば
δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p = ∑ σ ∈ S p sgn ( σ ) δ ν 1 μ σ ( 1 ) ⋯ δ ν p μ σ ( p ) = ∑ σ ∈ S p sgn ( σ ) δ ν σ ( 1 ) μ 1 ⋯ δ ν σ ( p ) μ p {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}} と表現でき、反対称化の記号を用いると:
δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p = p ! δ ν 1 [ μ 1 ⋯ δ ν p μ p ] = p ! δ [ ν 1 μ 1 ⋯ δ ν p ] μ p {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{\lbrack \mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}\rbrack }=p!\delta _{\lbrack \nu _{1}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{p}\rbrack }^{\mu _{p}}} となる。また、p × p 行列式 で表現すると[3] :
δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p = | δ ν 1 μ 1 ⋯ δ ν p μ 1 ⋮ ⋱ ⋮ δ ν 1 μ p ⋯ δ ν p μ p | {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}} となる。
行列式の(余因子展開 )を用いると再帰的 な定義:
δ ν 1 … ν p μ 1 ⋯ μ p = ∑ k = 1 p ( − 1 ) p + k δ ν k μ p δ ν 1 ⋯ ν ˇ k ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ k ⋯ μ ˇ p {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\cdots {\check {\nu }}_{k}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{k}\cdots {\check {\mu }}_{p}}\end{aligned}}} が得られる。ただし、チェック( ˇ {\displaystyle {\check {}}} )が付いた項は式から外されるとする。
n =p の場合、(高階に拡張された)エディントンのイプシロン を使えば:
δ ν 1 ⋯ ν n μ 1 ⋯ μ n = ε μ 1 ⋯ μ n ε ν 1 ⋯ ν n {\displaystyle \delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{n}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\cdots \nu _{n}}} となる。
逆にエディントンのイプシロンの定義と考えることもできる。
ε μ 1 ⋯ μ n = δ 1 ⋯ n μ 1 ⋯ μ n {\displaystyle \varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}=\delta _{1\cdots n}^{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}} ε ν 1 ⋯ ν n = δ ν 1 ⋯ ν n 1 ⋯ n {\displaystyle \varepsilon _{\nu _{1}\cdots \nu _{n}}=\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{n}}^{1\cdots n}} 演算規則 反対称化を一般化されたクロネッカーのデルタを使って定義すると
1 p ! ∑ ν 1 , … , ν p = 1 n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p a ν 1 ⋯ ν p = a [ μ 1 ⋯ μ p ] 1 p ! ∑ μ 1 , … , μ p = 1 n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p a μ 1 ⋯ μ p = a [ ν 1 ⋯ ν p ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\sum _{\nu _{1},\dots ,\nu _{p}=1}^{n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}&=a^{\lbrack \mu _{1}\cdots \mu _{p}\rbrack }\\{\frac {1}{p!}}\sum _{\mu _{1},\dots ,\mu _{p}=1}^{n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}&=a_{\lbrack \nu _{1}\cdots \nu _{p}\rbrack }\end{aligned}}} となる。
これより、以下の演算規則が導かれる。
∑ 1 ≤ ν 1 < ⋯ < ν p ≤ n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p a [ ν 1 ⋯ ν p ] = a [ μ 1 ⋯ μ p ] ∑ 1 ≤ μ 1 < ⋯ < μ p ≤ n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p a [ μ 1 ⋯ μ p ] = a [ ν 1 ⋯ ν p ] ∑ 1 ≤ ν 1 < ⋯ < ν p ≤ n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p δ ρ 1 ⋯ ρ p ν 1 ⋯ ν p = δ ρ 1 ⋯ ρ p μ 1 ⋯ μ p {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq \nu _{1}<\dots <\nu _{p}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}a^{\lbrack \nu _{1}\cdots \nu _{p}\rbrack }&=a^{\lbrack \mu _{1}\cdots \mu _{p}\rbrack }\\\sum _{1\leq \mu _{1}<\dots <\mu _{p}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}a_{\lbrack \mu _{1}\cdots \mu _{p}\rbrack }&=a_{\lbrack \nu _{1}\cdots \nu _{p}\rbrack }\\\sum _{1\leq \nu _{1}<\dots <\nu _{p}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}\delta _{\rho _{1}\cdots \rho _{p}}^{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}&=\delta _{\rho _{1}\cdots \rho _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}\end{aligned}}} これらは#性質 の節の内容の一般化であり、3番目の式はコーシー・ビネの公式 に対応する。
添字の縮約 については 0≤m <k ≤n として[4] 、
∑ ρ m + 1 = 1 n ⋯ ∑ ρ k = 1 n δ ν 1 ⋯ ν m ρ m + 1 ⋯ ρ k μ 1 ⋯ μ m ρ m + 1 ⋯ ρ k = ( n − m ) ! ( n − k ) ! δ ν 1 ⋯ ν m μ 1 ⋯ μ m {\displaystyle \sum _{\rho _{m+1}=1}^{n}\cdots \sum _{\rho _{k}=1}^{n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{k}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{k}}\,={\frac {(n-m)!}{(n-k)!}}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}} あるいは
∑ 1 ≤ ρ m + 1 < ⋯ < ρ k ≤ n δ ν 1 ⋯ ν m ρ m + 1 ⋯ ρ k μ 1 ⋯ μ m ρ m + 1 ⋯ ρ k = ( n − m k − m ) δ ν 1 ⋯ ν m μ 1 ⋯ μ m {\displaystyle \sum _{1\leq \rho _{m+1}<\dots <\rho _{k}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{k}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{k}}\,={\begin{pmatrix}n-m\\k-m\end{pmatrix}}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}} が成立する。
特に k =n のとき、
∑ 1 ≤ ρ m + 1 < ⋯ < ρ n ≤ n δ ν 1 ⋯ ν m ρ m + 1 ⋯ ρ n μ 1 ⋯ μ m ρ m + 1 ⋯ ρ n = δ ν 1 ⋯ ν m μ 1 ⋯ μ m {\displaystyle \sum _{1\leq \rho _{m+1}<\cdots <\rho _{n}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}\,=\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}} あるいは
∑ 1 ≤ ρ m + 1 < ⋯ < ρ n ≤ n ε μ 1 ⋯ μ m ρ m + 1 ⋯ ρ n ε ν 1 ⋯ ν m ρ m + 1 ⋯ ρ n = δ ν 1 ⋯ ν m μ 1 ⋯ μ m {\displaystyle \sum _{1\leq \rho _{m+1}<\cdots <\rho _{n}\leq n}\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}~\varepsilon _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}\,=\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}} ∑ ρ m + 1 , … , ρ n = 1 n ε μ 1 ⋯ μ m ρ m + 1 ⋯ ρ n ε ν 1 ⋯ ν m ρ m + 1 ⋯ ρ n = ( n − m ) ! δ ν 1 ⋯ ν m μ 1 ⋯ μ m {\displaystyle \sum _{\rho _{m+1},\dots ,\rho _{n}=1}^{n}\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}~\varepsilon _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}~\rho _{m+1}\cdots \rho _{n}}\,=(n-m)!~\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{m}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{m}}} が成立する。