オメガ定数

この項目では、数学定数について説明しています。チャイティンのオメガ定数については「チャイティンの定数」をご覧ください。

オメガ定数(オメガていすう、omega constant) とは、

${\displaystyle \Omega \times e^{\Omega }=1}$

を満たす数学定数であり、およそ Ω ＝ 0.5671432904097838729999686622… である。

また、

${\displaystyle \Omega =W(1)\,}$

とも定義できる（ただし、W: ランベルトのW関数）。「オメガ定数」という名前は、ランベルトのW関数の別称、「オメガ関数」によるものである。

オメガ定数は、黄金比に似た性質を持っている。これは

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega \,}$

が、

${\displaystyle \ln(1/\Omega )=\Omega \,}$

と同値であるということである。このことから、初期値 Ω₀ から始めて、Ω が漸化式

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}}$

を用いて反復計算できることがわかる。この数列は

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Omega _{n}=\Omega }$

に収束する。

無理性

Ω が無理数であることは、「e がすでに超越数であることが証明されている」事実を前提に、背理法で証明できる。

Ω を有理数と仮定すれば、次式を満たす整数 p, q が存在する。

${\displaystyle {\frac {p}{q}}=\Omega }$ 

これをオメガ定数の定義式に代入すれば、

${\displaystyle 1={\frac {p}{q}}e^{\frac {p}{q}}}$ 
${\displaystyle e^{p}=\left({\frac {q}{p}}\right)^{q}}$ 

これは、e が p 次の代数的数であることを示しているが、e は超越数であると証明されているため、背理法により Ω は無理数でなければならない。

その他

高さが無限大のテトレーション ${\displaystyle {({\frac {1}{e}})}^{{({\frac {1}{e}})}^{.^{.^{({\frac {1}{e}})}}}}}$  の極限は、オメガ定数 Ω に収束する。

また、${\displaystyle {({\frac {1}{\Omega }})}^{({\frac {1}{\Omega }})}}$ の値は、e に等しい。

関連記事

• ランベルトのW関数

脚注

外部リンク

• Eric W. Weisstein, Omega Constant at MathWorld

参考文献

• 真実のみを記す会『Ω1000000桁表』暗黒通信団、2014年。(ISBN 978-4-87310-217-7)。