σ集合環

数学における σ-集合環（シグマしゅうごうかん、英: σ-ring [of sets]）あるいは σ-環は、σ-集合代数（あるいはトライブ^[1]）より少し一般の定義を持つ集合族で、今日では σ-集合代数によって展開されることの多い測度論は、σ-集合環を用いて定式化することもできる。

定義、例、性質

 

モーリス・フレシェは1915年、σ-集合環をに最初に用いた人物

定義

集合 X 上の σ-集合環とは、可算合併に関して閉じている集合環を言う^[2]

• 任意の σ-集合代数は σ-集合環である。集合代数が全体集合 X を含む集合環であったと同様に、σ-集合代数は全体集合 X を含む σ-集合環を言う。
• 有限集合上の集合環は σ-集合環になる。集合代数を成さない有限集合上の集合環は、σ-集合代数でない σ-集合環の例を与える。例えば二元集合 {a, b} の集合環 { ∅, {a} } は σ-集合環だが σ-集合代数でない。
• 任意の集合 X 上の高々可算な部分集合全体の成す族 Ρ は σ-集合環であり、これが生成する σ-集合代数 Σ は
  ${\displaystyle \Sigma =\{A\in {\mathcal {P}}(X)\mid A{\text{ or }}A^{c}\in \mathrm {P} \}}$ 
  で与えられる。X が非可算無限集合ならば、Ρ は Σ に真に含まれ、Ρ は σ-集合代数ではない σ-集合環の例を与える。
• ブール環と見て、集合代数は交叉に関する単位元を持つ。より一般の集合環は（特に σ-集合環は）、上記 { ∅, {a} } の例のように単位元を持つものもあれば、次の例のように単位元を持たないものもある。集合環 Τ が交叉に関する単位元を持つ必要十分条件が
  ${\displaystyle \bigcup _{A\in \mathrm {T} }A\in \mathrm {T} }$ 
  であることを見るのは易しい。X 上の σ-集合環が交叉に関する単位元 Y を持てば、実は Y 上の σ-集合代数になる。^[3]。
• 任意の σ-集合環は δ-集合環である^[4]が逆は真ではない（δ-集合環の項を参照）。

測度論における用例

1915年にフレシェは、今日知られているものと程近い測度の定義を提唱し、それは実数とは無関係に「抽象的な集合」が扱われた最初であった。フレシェの論文では σ-集合環の名称はまだ使われていない^[5]。20世紀の中ごろまでは、測度論の説明に σ-集合代数ではなく σ-集合環がしばしば用いられていた^[6]。

σ-集合代数でない σ-集合環 Σ 上で定義された測度 μ が与えられたとき、それを σ-集合代数上へ拡張する方法は少なくとも二種類考えられる。一つは、σ-集合環を δ-集合環として考え、δ-集合環の項に言う方法で局所可測集合全体の成す σ-集合代数へ μ を延長する。いま一つは μ を Σ の生成する σ-集合代数 σ(Σ) まで延長するために、まだ測度の定義されていない集合に関しては測度が +∞ であると定める方法である。これら二つは、同じ σ-集合代数を生成した場合でも、必ずしも同じ延長を与えるものではない。X が非可算無限集合であるとき、X 上の高々可算部分集合全体の成す σ-集合環 Ρ とその上の測度 μ は零測度を考えると、前者の方法では μ は（X の部分集合全体の成す σ-集合代数上で）零測度に延長されるが、後者は補可算または補有限な集合の測度が無限大になる^[7]。

注釈

1. ^ σ-集合環のことをトライブ (tribe) と呼ぶものもある。Malempati Madhusudana Rao (1987), Measure theory and integration, Wiley  の p.15 の注
2. ^ σ-集合環の定義は測度論の形成において遍在している。例えば (en) Paul Halmos, Measure Theory, Van Nostrand,‎ 1950, p. 24
3. ^ この注意については (A. Kolmogorov) および (S. Fomine) (en), Éléments de la théorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle, (Éditions Mir),‎ 1977 に単位元の存在が、また Halmos, op. cit., p. 73, に σ-集合環の元の和についての条件が書かれている。
4. ^ (en) Karen Saxe, Beginning functional analysis, New York, Springer,‎ 2002, relié (ISBN 978-0-387-95224-6, LCCN 00067916), exercice 3.2.1, p. 69
5. ^ Jean-Paul Pier, Histoire de l'intégration. Vingt-cinq siècles de mathématiques, Masson,‎ 1996 (ISBN 978-2-22585324-1), p. 165 に Fréchet, Maurice (1915), Sur l'intégrale d'une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait, XLIII, (Bull. Soc. Math. France) (en), pp. 248-265  への言及がある。
6. ^ 故に Paul Halmos, op. cit., p.73 は「可測空間」を単位元を持つ σ-集合環によって定義しており、また (en) Sterling Berberian, Measure and Integration, MacMillan,‎ 1965, p. 35 は必ずしも単位元を持たない σ-集合環を使って「可測空間」を定めている。
7. ^ Sterling Berberian, op. cit., p. 35-36