σコンパクト空間

数学において、位相空間がσコンパクト (σ-compact) であるとは、可算個のコンパクト部分空間の合併であることをいう^[1] 。

空間がσ局所コンパクト (σ-locally compact) であるとは、σコンパクトかつ局所コンパクトであることをいう^[2]。

性質と例

• すべてのコンパクト空間はσコンパクトであり、すべてのσコンパクト空間はリンデレーフ空間である（すなわちすべての開被覆は可算部分被覆を持つ）^[3]。逆は成り立たない。例えば、標準的なユークリッド空間 (Rⁿ) はσコンパクトだがコンパクトでなく^[4]、実数直線上の(下極限位相)（英語版）はリンデレーフだが σ コンパクトでない^[5]。実は、(補可算位相)（英語版）はリンデレーフだがσコンパクトでも局所コンパクトでもない^[6]。

• σコンパクトかつ局所コンパクトな空間はパラコンパクトである^[7]。とくに、多様体がσコンパクトならばパラコンパクトである^[8]。逆に、パラコンパクト多様体の連結成分の個数が高々可算個であればσコンパクトである^[8]。

• ハウスドルフベール空間がσコンパクトでもあれば少なくとも1点で局所コンパクトでなければならない。

• G が位相群で G が1点で局所コンパクトであれば、G はすべての点で局所コンパクトである。したがって、直前の性質より、G がσコンパクトハウスドルフ位相群でベール空間でもあれば、G は局所コンパクトである。これはハウスドルフ位相群がベール空間でもあればσコンパクト性から局所コンパクト性が従うことを示している。

• 直前の性質より例えば R^ω はσコンパクトでない。なぜならば、仮にσコンパクトとすると、R^ω は位相群であってベール空間でもあるから、局所コンパクトでなければならない。

• すべての(半コンパクト空間)（英語版）はσコンパクトである^[9]。しかしながら、逆は正しくない^[9]。例えば、有理数全体からなる空間に通常の位相を入れると σ コンパクトだが半コンパクトではない。

• σコンパクト空間の有限個の積はσコンパクトである。しかしながら、σコンパクト空間の無限個の積はσコンパクトとは限らない^[9]。

• σコンパクト空間 X が第二類(resp. ベール) であることと X が局所コンパクトであるような点の集合が X において空でない（resp. 稠密である）ことは同値である^[10]。

関連項目

• (Exhaustion by compact sets)（英語版）
• リンデレーフ空間

脚注

1. ^ Steen, p. 19; Willard, p. 126.
2. ^ Steen, p. 21.
3. ^ Steen, p. 19.
4. ^ Steen, p. 56.
5. ^ Steen, pp. 75–76.
6. ^ Steen, p. 50.
7. ^ 松島，p. 86.
8. ^ ^{a b} 松島，p. 88.
9. ^ ^{a b c} Willard, p. 126.
10. ^ Willard, p. 188.

参考文献

• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). (ISBN 0-03-079485-4).
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN (0-486-43479-6) 
• 松島与三 (2008). 多様体入門. 数学選書5 (37 ed.). 裳華房. ISBN (978-4-7853-1305-0)