体 K の絶対ガロア群 GK(ぜったいガロアぐん、英: absolute Galois group)とは、数学の用語で、K の分離閉包 Ksep の K 上のガロア群のことである。あるいは、K の代数的閉包の自己同型であって K を固定するもの全てからなる群と言っても同じことである。絶対ガロア群は副有限群であり、内部自己同型による違いを除いて well-defined である。
K が完全体であれば Ksep は K の代数的閉包 Kalg と等しい。K が標数0の場合や、K が有限体の場合がこれにあたる。
例
- 代数的閉体の絶対ガロア群は単位元のみからなる自明な群である。
- 有限体 K の絶対ガロア群は次の群
- と同型である(記号については射影極限参照)。フロベニウス自己同型 Fr は GK の標準的な位相的生成元である。Fr は、q を K の元の数とすると、Fr(x) = xq (x は Kalg の元)で定義される写像である。
- より一般に、任意の代数的閉体 C に対して、有理関数体 K = C(x) の絶対ガロア群は自由でその階数は C の濃度に等しいことが知られている。これは(デイヴィッド・ハーバター)[訳語疑問点]とフロリアン・ポップにより証明され、のちに(ダン・ハラン)[訳語疑問点]と(モシェ・ジャーデン)[訳語疑問点]により代数的な方法で別証明が与えられた[2][3][4]。
未解決問題
その他の結果
- 全ての副有限群はあるガロア拡大のガロア群となる[11]が、全ての副有限群が絶対ガロア群となるわけではない。例えば、有限群で絶対ガロア群となるものは単位元のみの自明な群か位数2の群だけであることがアルティン・シュライアーの定理から分かる。
- 全ての(射影的副有限群)[訳語疑問点]は(擬代数的閉体)[訳語疑問点]の絶対ガロア群として実現できる。このことは(アレクサンダー・ルボツキー)[訳語疑問点]と(ルー・ファン・デン・ドリース)[訳語疑問点]によって証明された[12]。
脚注
- ^ Douady 1964
- ^ Harbater 1995
- ^ Pop 1995
- ^ Haran & Jarden 2000
- ^ Jannsen & Wingberg 1982
- ^ Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000, theorem 7.5.10
- ^ Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000, §VII.5
- ^ “qtr” (PDF). 2019年9月4日閲覧。
- ^ Ihara, Yasutaka (1990). Braids, Galois groups and some arithmetic functions (PDF). International Congress of Mathematicians 1990. p. 104.
- ^ Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000, p. 449.
- ^ Fried & Jarden (2008) p.12
- ^ Fried & Jarden (2008) pp.208,545
参考文献
- Douady, Adrien (1964), “Détermination d'un groupe de Galois”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 258: 5305–5308, MR0162796
- Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008), Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, 11 (3rd ed.), Springer-Verlag, ISBN (978-3-540-77269-9), Zbl 1145.12001
- Haran, Dan; Jarden, Moshe (2000), “The absolute Galois group of C(x)”, Pacific Journal of Mathematics 196 (2): 445–459, doi:10.2140/pjm.2000.196.445, MR1800587
- (Harbater, David) (1995), “Fundamental groups and embedding problems in characteristic p”, Recent developments in the inverse Galois problem (Seattle, WA, 1993), Contemporary Mathematics, 186, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 353–369, MR1352282
- Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), “Die Struktur der absoluten Galoisgruppe -adischer Zahlkörper”, (Inventiones Mathematicae) 70: 71–78, Bibcode: 1982InMat..70...71J, doi:10.1007/bf01393199
- (Neukirch, Jürgen); Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN (978-3-540-66671-4), Zbl 0948.11001, MR1737196
- (Pop, Florian) (1995), “Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture”, (Inventiones Mathematicae) 120 (3): 555–578, Bibcode: 1995InMat.120..555P, doi:10.1007/bf01241142, MR1334484