F_σ集合

数学の一分野である位相空間論における F_σ-集合とは、位相空間の部分集合で、閉集合の可算和に書けるようなものを言う。由来としては、F が閉（集合）を意味するフランス語の fermé から、σ が合併を意味するフランス語の somme からそれぞれとられている。

性質

F_σ-集合の補集合は G_δ-集合である。

可算個の F_σ-集合の合併はまた F_σ-集合であり、有限個の F_σ-集合の交わりはふたたび F_σ-集合を成す（F_σ-集合の可算交叉は F_σδ-集合という）。

例と反例

• 任意の閉集合は明らかに F_σ-集合である。
• 有理数全体の成す集合 Q は実数全体の成す集合 R の F_σ-集合である。無理数全体の成す集合 P = R ∖ Q は R の F_σ-集合ではない。
• チホノフ空間において、一点集合 {x} は閉集合となるから、任意の高々可算な集合は F_σ-集合になる。
• 距離化可能空間においては、任意の開集合が F_σ-集合になり、また任意の閉集合が G_δ-集合になる。

座標平面 R² 上の点 (x, y) で x/y が有理数となるようなもの全体の成す集合 A は F_σ-集合である。これは A が原点を通り、傾きが有理数であるような直線の和

${\displaystyle A=\bigcup _{r\in \mathbb {Q} }\{(ry,y)\mid y\in \mathbb {R} \}}$ 

として書けることによる。ここで有理数全体の成す集合 Q が可算集合であることに注意。

参考文献

• (John L. Kelley), General topology, (van Nostrand), 1955.
• (Steen, Lynn Arthur); (Seebach, J. Arthur Jr.) (1995) [1978]. (Counterexamples in Topology) (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN (978-0-486-68735-3). MR507446 

関連項目

• G_δ-集合
• (ボレル階層)