アルゴリズム 以下の手順を繰り返し行い、限量子を除去していく[2]。変数の定義域は実数もしくは有理数。
- 以下の置き換えを行う。
- 等式や不等式に ¬ がかかる物は反転させる。
- a ≧ b は b ≦ a へ
- a > b は b < a へ
- a = b は (a ≦ b) ∧ (b ≦ a) へ
- ∀x. P(x) は ¬ ∃x. ¬ P(x) へ
- 下記簡略化は随時行う。
- 常に成り立つ もしくは 常に不成立な不等式は真や偽に置き換える。
- 真や偽が ∧ や ∨ や ¬ に付く場合は適切に論理式を簡略化する。
- ∃x. P(x) の形式において、P(x) が x を使用してなければ、∃x. を取り除く。
- ∃x. P(x) の形式で、P(x) に限量子が出てこない物を探し、P(x) を選言標準形に変換する。
- ∃x. (P(x) ∨ Q(x)) ⇔ (∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x)) の変換を行う。
- Q が x を使用していない場合、∃x. (P(x) ∧ Q) ⇔ (∃x. P(x)) ∧ Q の変換を行う。
- 下記公式を使い、限量子を除去する。
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- 上記は一般的な形式だが、より分かりやすく、2つの不等式の場合に書き下すと以下の通り。
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具体例 に対して、Fourier–Motzkin消去法を使用し、簡略化する。
ここで公式を使用する。
整数への拡張 変数の定義域を整数にする場合の拡張を William Pugh が1992年に発表している[3]。オメガテストと名付けた判定条件を追加している。
また、1972年に D. C. Cooper がFourier–Motzkin消去法の直接の拡張ではないが、整数変数に対する限量子消去法である(Cooper法)を発表している[4]。
多項式の場合 一次式ではなく、より一般的な多項式の場合 George E. Collins が1975年に発表した Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD) を使用することにより、限量子消去が出来る。
参照 - ^ Satisfiability Checking Fourier–Motzkin Variable Elimination
- ^ Arithmetic Decision Procedures: a simple introduction
- ^ The Omega Test: a fast and practical integer programming algorithm for dependence analysis
- ^ Theorem Proving in Arithmetic without Multiplication
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