3つの立方数の和

3つの立方数の和（3つのりっぽうすうのわ、Sums of three cubes）は整数の立方数3つを合計したものである。

片対数グラフ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle 0\leq n\leq 100}$. Green bands denote values of ${\displaystyle n}$ proven not to have a solution.

${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$

${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$

任意のnに対して、条件を満たす解${\displaystyle x,y,z}$の組を求める問題は、1950年代にルイス・モーデルによって考え出された^[1]。いくつかのnに対する解の探索には長い時間がかかっていたが^[2]、MITなどの研究グループにより短期間で求める手法が見出され、あるnに対する解となる組は無限に存在するはずだと推測されている^[3]。

なお、nの値について、9を法として4, 5 に合同な値を除外する条件が付けられているのは、そのようなnが存在し得ないからである。このことは、 全ての立方数は9を法として0, 1, 8 のいずれかに合同となることより、簡単に確認できる。同様に、4つの立方数の和と問題を拡張した場合は、この除外条件は不要となる。

小さなn

nが0

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0}$ 

nが1

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}$ 

nが2

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2}$ 

nが3

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3}$ 

${\displaystyle 4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3}$ 

${\displaystyle 569936821221962380720^{3}+(-569936821113563493509)^{3}+(-472715493453327032)^{3}=3}$  ^[4][3]

コンピュータによる探索

100以下の全て

n=0～74 オンライン整数列大辞典の数列 (A060465) オンライン整数列大辞典の数列 (A060466) オンライン整数列大辞典の数列 (A060467)

n	x	y	z
0	0	0	0
1	0	0	1
1	9	10	-12
2	1	1	0
2	1214928	3480205	-3528875
3	1	1	1
3	4	4	-5
3	569936821221962380720	-569936821113563493509	-472715493453327032
6	-1	-1	2
6	60248	10529	-60355
7	0	-1	2
8	9	15	-16
9	0	1	2
10	1	1	2
11	-2	-2	3
12	7	10	-11
15	-1	2	2
16	-511	-1609	1626
17	1	2	2
18	-1	-2	3
19	0	-2	3
20	1	-2	3
21	-11	-14	16
24	2	2	2
24	-2901096694	-15550555555	15584139827
25	-1	-1	3
26	0	-1	3
27	0	0	3
27	-4	-5	6
28	0	1	3
29	1	1	3
30	-283059965	-2218888517	2220422932
33	-2736111468807040	-8778405442862239	8866128975287528
34	-1	2	3
35	0	2	3
36	1	2	3
37	0	-3	4
38	1	-3	4
39	117367	134476	-159380
42	12602123297335631	80435758145817515	-80538738812075974
43	2	2	3
44	-5	-7	8
45	2	-3	4
46	-2	3	3
47	6	7	-8
48	-23	-26	31
51	602	659	-796
52	23961292454	60702901317	-61922712865
53	-1	3	3
54	-7	-11	12
55	1	3	3
56	-11	-21	22
57	1	-2	4
60	-1	-4	5
61	0	-4	5
62	2	3	3
63	0	-1	4
64	0	0	4
64	-3	-5	6
65	0	1	4
66	1	1	4
69	2	-4	5
70	11	20	-21
71	-1	2	4
72	7	9	-10
73	1	2	4
74	66229832190556	283450105697727	-284650292555885
75	4381159	435203083	-435203231
78	26	53	-55
79	-19	-33	35
80	69241	103532	-112969
81	10	17	-18
82	-11	-11	14
83	-2	3	4
84	-8241191	-41531726	41639611
87	-1972	-4126	4271
88	3	-4	5
89	6	6	-7
90	-1	3	4
91	0	3	4
92	1	3	4
93	-5	-5	7
96	10853	13139	-15250
97	-1	-3	5
98	0	-3	5
99	2	3	4
100	-3	-6	7

1000以下

${\displaystyle 795=(-14219049725358227)^{3}+14197965759741571^{3}+2337348783323923^{3}}$ 

未解決の数は「114、165、390、579、627、633、732、906、921、975」^[5][6]

その後、解決した数

${\displaystyle 906=(-74924259395610397)^{3}+72054089679353378^{3}+35961979615356503^{3}}$  ^[7]

${\displaystyle 165=(-385495523231271884)^{3}+383344975542639445^{3}+98422560467622814^{3}}$  ^[7]

${\displaystyle 579=143075750505019222645^{3}+(-143070303858622169975)^{3}+(-6941531883806363291)^{3}}$  ^[8][7]

よって、1000以下で未解決の数は「114、390、627、633、732、921、975」（2022年7月現在）である。

脚注

[脚注の使い方]

1. ^ ６０年解けなかった数学の難題　世界中のＰＣつなぎ解決：朝日新聞デジタル
2. ^ 33は3つの立方数の和で表せるのか——64年来の数学上の難題が解かれる
3. ^ ^{a b} MITなどの研究グループが「立方数の和の解」を短期間で求める手法を見出す
4. ^ 42に続き3の難問もあっさり解決！地球スパコン連続快挙
5. ^ [1]
6. ^ [2]
7. ^ ^{a b c} Andrew V. Sutherland
8. ^ [3] twitter

関連項目

• 二個の平方数の和
• 三個の平方数の和
• ディオファントス方程式
• ウェアリングの問題

外部

• https://www.bristol.ac.uk/news/2019/september/sum-of-three-cubes-.html