2の立方根

2 の立方根（にのりっぽうこん）は、立方（3乗）して 2 になる数である。すなわち、

${\displaystyle r^{3}=r\times r\times r=2}$

を満たす数 r のことである。 2 の立方根に関する作図問題としては、立方体倍積問題が古代から知られている。

概要

2 の立方根は複素数の範囲に 3 つあり、そのうち 1 つは実数である。実数の立方根を

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ 

と書き、虚数の立方根は

${\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}}$  , ${\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}}$ 

と書き表すことができる。

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$  が無理数であることは、2の平方根の場合と同様、有理根定理、背理法（無限降下法）、または素因数分解の一意性を利用して証明することができる。
オンライン整数列大辞典では ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$  の十進記数法における小数点以下 107 桁まで表示されている^[1]。

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=}$  1.2599210498 9487316476 7210607278 2283505702 5146470150 …

この数の並びには無限回の循環はない。このことは、${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$  が無理数であることによる^{[注釈 1]}。

性質

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$  は代数方程式 r ³ − 2 = 0 の根の 1 つであるから、代数的数である。
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$  は定規とコンパスによる作図で示すことが不可能な数である。この事実は、1837年に、ピエール・ヴァンツェルにより証明された。
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$  の連分数展開は

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$ 

となる。これはしばしば [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4,...] と表記される。連分数展開を途中で打ち切ることで、${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$  の近似値を計算することができる。

脚注

出典

1. ^ オンライン整数列大辞典の数列 (A002580) 2018年2月11日閲覧

注釈

1. ^ 逆に、循環小数として表現できるような数は全て有理数である（無理数ではない）。有理数とは、整数の比によって表すことのできる数のことを言う。

関連項目

• 冪根
• 立方根
• 立方体倍積問題
• 2の平方根