Theorema Egregium

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Theorema Egregium（ラテン語、日: 驚異の定理）はカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された定理で、曲面のガウス曲率が曲面の内在的な量（リーマン計量）のみで書ける事を主張する。

日本語では「最も素晴らしい定理」^[1]「驚異の定理」^[2][3]などと訳される事もあるが、単語として「驚異の」という意味は持っていない^{[注 1]}。英語では「Remarkable Theorem」（注目すべき定理）と訳す事もある^[6][7][8]。

用語

「Theorema Egregium」という語はこの定理を示したガウスの原論文から来ている：

Formula itaque art. praec, sponte perducit ad egregium

THEOREMA. Si superficies curva in quamcunque aliam superficiem explicatur, mensura curuaturae in singulis punctis inuariata manet. — Carl Friedrich Gauss、Disquisitiones generales circa superficies curvas^[9]

したがって前項の公式はそれ自身が導く、eggregium^{[注 2]}

THEOREMA. もし曲面が他の任意の曲面にどのように発展したとしても、各点における曲率の大きさは不変である。 — カール・フリードリヒ・ガウス、曲面の一般的考察^[10][11]

概要

 

鞍点

Mを3次元ユークリッド空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 内の曲面とし、PをM上の点とする。点PにおいてMの「最も曲がっている方向」の曲がり具合と「最も曲がっていない方向」の曲がり具合の積を点PにおけるMのガウス曲率という。（ただし図のようにPが鞍点になっている場合は、逆方向の曲がりをマイナスの曲がり具合と解釈する。よってこの場合の「最も曲がっていない方向」とは「逆向きに最も曲がっている方向」である）。

ガウス曲率はその定義より、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ におけるMの曲がり具合を利用して定義されている為、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ においてMがどのような形になっているかが一見重要に見える。

しかし実はガウス曲率はMの「外の空間」である${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ とは無関係に計算できる、というのがTheorema Egregiumの趣旨である。具体的にはガウス曲率はMの距離空間としての構造（厳密にはリーマン計量）のみから計算できる。

 

ヘリコイド（螺旋面）からカテノイド（懸垂面）に変形するアニメーション

したがって、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 内でMを変形しても、その変形がMの距離構造を変えない限り、ガウス曲率は変わらない。例えば(カテノイド)（英語版）（＝懸垂面）と(ヘリコイド)（英語版）（＝螺旋面）は見た目は大きく異なるが、両者の距離構造は同じなので、ガウス曲率は変わらない。

このように「外の空間」とは無関係にMの情報だけを用いて計算できる量をMに内在的な量であるという。Theorema Egregiumは、ガウス曲率がMの内在的な量である事を意味している。

 

Theorema Egregiumから得られる帰結として、平面上に地球の正確な歪みの無い地図を描くことはできない。ここに示したメルカトル図法では、角度は保たれる（等角写像）が面積は保たれない。

Theorema Egregiumを使うと、地球の地図を書くとき距離を歪ませない正確な地図は書けない事を示す事ができる。実際、もし正確な地図が書けるなら、地球と地図（すなわち球面と平面）の距離構造は同一なので、Theorema Egregiumより両者のガウス曲率は等しくなければならないが、球面のガウス曲率は半径をRとすると1/R²であり、平面のガウス曲率は0である事が知られているので、これは矛盾である。なお、ガウスがTheorema Egregiumなどの曲面論（(ガウスの曲面論)（英語版））を研究したきっかけは、国家の測量を依頼されたためであった。

ベルンハルト・リーマンはTheorema Egregiumに着目する事により、「外の空間」なしのn次元曲面、すなわちn次元リーマン多様体を定義し、これが今日の微分幾何学の研究の嚆矢となった。

さらにアルベルト・アインシュタインは、重力の座標変換則がリーマン多様体のそれとよく似ている事に着目し、宇宙をリーマン多様体の類似物（擬リーマン多様体）と見なすことで一般相対性理論を確立した。

厳密な定式化

古典的な定式化

Theorema Egregiumは以下のように定式化できる：

定理 ―  ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 内の曲面Mに対し、Mのガウス曲率はMの第一基本形式（現代的な言い方では「リーマン計量」という）のみを用いて記述できる。

具体的には第一基本形式を

${\displaystyle I=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}.\,}$ 

とするとき、ガウス曲率Kは(ブリオスキの公式)（英語版）

${\displaystyle K={\frac {\det {\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-\det {\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}}$ 

により記述できる。

現代的な定式化

リーマン多様体の言葉を使うと、Theorema Egregiumを以下のように再定式化できる。

${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$ を${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ のC^∞級部分多様体とし、Mに${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ の内積から誘導されるリーマン計量gを入れ、gが定めるレヴィ・チヴィタ接続（共変微分）を∇とし、リーマンの曲率テンソルRを

${\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$ 

により定義する。

各点${\displaystyle P\in M}$ に対し、T_PMのgに関する正規直交基底${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ を選び、PにおけるMの断面曲率を

${\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}:=g(e_{1},R(e_{1},e_{2})e_{2})}$ 

により定義する。断面曲率は${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ の選び方によらずwell-definedである事が知られている。

このときTheorema Egregiumは以下のように再定式化できる：

定理 (Theorema Egregiumの再定式化) ― ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ の二次元部分多様体${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$ に対し、点Pにおけるガウス曲率は点Pにおける断面曲率と一致する^[12]。

断面曲率はMに内在的な量（リーマン計量）のみから定義したので、断面曲率はMに内在的な量である。よって上記の定理はガウス曲率がMに内在的である事を示している。

脚注

出典

1. ^ #小林77 p.92.
2. ^ “幾何概論 II 講義ノート（2012 年度，井上尚夫)”. 熊本大学. 2023年5月19日閲覧。
3. ^ “曲面に関連するシンプレクティック群の表現と 幾何学的不変量”. 東京大学. 2023年5月19日閲覧。
4. ^ ^{a b} “Latin dictionaries”. 2023年5月19日閲覧。
5. ^ “egregium - LatDict”. 2023年5月19日閲覧。
6. ^ Yin Li. “The Gauss-Bonnet-Chern Theorem on Riemannian Manifolds” (PDF). 2023年5月18日閲覧。
7. ^ “Differential Geometry III, Term 2 (Section 10)”. Durham University. 2023年5月19日閲覧。
8. ^ “Lectures 16-17: Gauss's Remarkable Theorem”. Alberta University. 2023年5月19日閲覧。
9. ^ #Goettingen 12章、太字引用者
10. ^ #Project Gutenberg 12章の下記の文章を重訳した：
    Thus the formula of the preceding article leads of itself to the remarkable

    THEOREM. If a curved surface is developed upon any other surface whatever, the measure of curvature in each point remains unchanged.

11. ^ 論文名の和訳『曲面の一般的考察』は下記に従った：阿賀岡 芳夫. “リーマン多様体の等長埋め込み論外史”. 筑波大学. p. 3. 2023年5月20日閲覧。
12. ^ #Carmo p.131.

注釈

1. ^ ラテン語で「Theorema」（羅: thĕōrēma）は theorem（定理） ^[4]、「Egregium」は distinguished、excellent、eminent（顕著な、すぐれた、卓越した、など）という意味を持つ。^[4][5]
2. ^ より直訳に近いのは、「前項の公式はそれ自身がeggregium theoremaを導く」であるが、「Theorema」の部分が定理の表題を兼ねているので、この訳文にした。

文献

参考文献

• 小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』裳華房〈基礎数学選書 17〉、1977年8月20日。(ASIN) B000J8X6V8。ISBN (4-7853-1119-3)。 
• Manfredo P. do Carmo Francis Flaherty訳 (1994/2/24). Riemannian Geometry. Mathematics: Theory & Applications. Birkhauser Boston. ISBN (978-0817634902) 
• Loring W. Tu (2017/6/15). Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes. Graduate Texts in Mathematics. 275. Springer. ISBN (978-3319550824) 

原論文

• ラテン語：
  • Carl Friedrich Gauss (1827 Oct. 8). “Disquisitiones generales circa superficies curvas”. 2023年5月20日閲覧。
• 英訳
  • ウェブ
    • Carl Friedrich Gauss. “General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825,”. プロジェクト・グーテンベルク. 2023年5月20日閲覧。
    • Karl Friedrich Gauss, General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, (1902) The Princeton University Library.
  • 書籍
    • Carl Friedrich Gauss (Author), Adam Hiltebeitel (Translator), James Morehead (Translator), General Investigations Of Curved Surfaces Unabridged (Paperback), Wexford College Press, 2007, (ISBN 978-1-929148-77-6).
    • Carl Friedrich Gauss (Author), Peter Pesic (Editor), General Investigations of Curved Surfaces (Paperback), Dover Publications, 2005, (ISBN 978-0-486-44645-5).

関連項目

• カール・フリードリヒ・ガウス
• 曲率
• 曲面
• 微分幾何学

外部リンク

• Theorema Egregium on Mathworld