離散ウェーブレット変換

離散ウェーブレット変換（りさんウェーブレットへんかん、英: Discrete wavelet transform, DWT）は、数値解析や関数解析において、離散的にサンプリングされたウェーブレットを用いたウェーブレット変換のアルゴリズムである。本来は異なる物だが、多くのソフトウェアでは多重解像度解析の事を離散ウェーブレット変換と呼んでいる。本項では本来の定義の方をふれ、多重解像度解析に関してはそちらの項目を参照。

概要

最初の離散ウェーブレット変換は、ハンガリーの数学者アルフレッド・ハールによって示された。ハールウェーブレットによる多重解像度解析は、${\displaystyle 2^{n}}$  の長さを持つ数列が入力されると、隣接した値の差分と和を求めるものである。この処理は再帰的に行われ、和の数列は次の処理の入力となる。最終的には、${\displaystyle 2^{n}-1}$  の差分値と一つの和の値を得る。

この単純な離散ウェーブレット変換は、ウェーブレットの一般的な特性を示している。多重解像度解析の計算量は(${\displaystyle O(n)}$ )である。また、この変換は、時間及び周波数の両方の特性をつかむことができる。これら2つの特徴は、高速フーリエ変換と比較した場合の多重解像度解析の大きな特徴である。

もっとも一般的な離散ウェーブレット変換は、ベルギーの数学者イングリッド・ドブシーによって1988年に証明された。この証明では、解像度が以前のスケールの2倍となっていく漸化式によって、もっとも密にサンプリングされたマザーウェーブレットを生成している。彼女の講義資料には、(ドブシーウェーブレット)（英語版）と呼ばれるウェーブレットファミリーが提供されており、その中の最古のウェーブレットはハールウェーブレットである。このあと、これをベースとした多くのウェーブレットが開発された。

離散ウェーブレット変換の別の表現としては、(定常ウェーブレット変換)（英語版） （ダウンサンプリングが無い離散ウェーブレット変換）がある。また、関連した変換としては、(ウェーブレットパケット)（英語版）や(複素ウェーブレット変換)（英語版）がある。

離散ウェーブレット変換は、科学・工学・数学・計算機科学の分野で数多くの応用が存在する。 顕著な例としては、信号符号化やデータ圧縮などに用いられる。特に画像圧縮に対してはモスキートノイズが理論上ほとんど発生しないため、JPEG 2000のアルゴリズムにも採用されている。

本来の定義

本来の f(t) に対する離散ウェーブレット変換の定義は、(連続ウェーブレット変換)の解像度を2倍刻みにした、下記の形である^[1][2]。${\displaystyle \psi (t)}$  はウェーブレット関数。j と k は整数。

${\displaystyle d_{k}^{(j)}=2^{j}\int _{\mathbf {R} }f(t){\overline {\psi (2^{j}t-k)}}dt}$ 

逆離散ウェーブレット変換は以下の形である。

${\displaystyle f(t)=\sum _{j}\sum _{k}d_{k}^{(j)}\psi (2^{j}t-k)}$ 

しかしながら、これが使われる事は少なく、多重解像度解析が使われる事が一般的である。Mathematica^[3] や MATLAB^[4] をはじめとして、多くのソフトウェアでは、多重解像度解析の事を離散ウェーブレット変換と呼ぶ。多重解像度解析の詳細については、そちらの項目を参照。

参照

1. ^ I.ドブシー. ウェーブレット10講. ISBN (978-4621062289) 
2. ^ 榊原 進. ウェーヴレットビギナーズガイド―数理科学. ISBN (978-4501522704) 
3. ^ DiscreteWaveletTransform—Wolfram言語ドキュメント
4. ^ Single-level discrete 1-D wavelet transform - MATLAB dwt - MathWorks 日本

• Stéphane Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing ((ISBN 9780124666061))

関連項目

• 多重解像度解析
• ウェーブレット
• ウェーブレット変換
• 直交ミラーフィルタ
• en:List of wavelet-related transforms