逆べき乗法

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逆べき乗法もしくは逆反復（法）とは、ある${\displaystyle n\times n}$の行列${\displaystyle \mathbf {A} }$が正則行列であるときに、行列${\displaystyle \mathbf {A} }$の固有値のうち、絶対値最小のものを求める手法である。

具体的には、適当な初期ベクトル${\displaystyle \mathbf {y} ^{(0)}}$から始めて、逐次

${\displaystyle \mathbf {y} ^{(k)}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {y} ^{(k-1)}}$

を計算することで、${\displaystyle \mathbf {y} ^{(k)}}$が${\displaystyle \mathbf {A} }$の絶対値最小の固有値${\displaystyle \lambda _{n}}$に属する固有ベクトルに収束していくことを利用し、

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\dfrac {\mathbf {y} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {y} ^{(k)}}{\mathbf {y} ^{(k){\rm {T}}}\mathbf {y} ^{(k-1)}}}={\frac {1}{\lambda _{n}}}}$

により絶対値最小の固有値を得る。

　絶対値最大の固有値を求める手法としてはべき乗法が有名である。逆べき乗法は行列${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$に対してべき乗法を適用しているため、収束の証明はべき乗法と同様である。

参考文献

• 伊理正夫、藤野和建『数値計算の常識』共立出版。 

関連項目

• 固有値問題
• べき乗法