貴金属比

数学において、貴金属比（ききんぞくひ、英語: metallic ratio）とは、

1:{\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}

（

n

は自然数）

で表される比のことである。

線分比 $a : b$ が第 $n$ 貴金属比であるとは、

(b-na):a=a:b

が成り立つことを意味する。

${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$ を貴金属数（ききんぞくすう、英語: metallic number）という。第 $n$ 貴金属数 $M n$ は、逆数との差が自然数 $n$ である正の実数、つまり

M_{n}-{\frac {1}{M_{n}}}=n

（

n

は自然数）

で特徴付けられる。

貴金属数

貴金属数
$n$	第 $n$ 貴金属数	小数展開	オンライン整数列大辞典	別名
0	$1$	1
1	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	1.6180339887…	(A001622)	黄金数
2	$1+{\sqrt {2}}$	2.4142135623…	(A014176)	白銀数
3	${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	3.3027756377…	(A098316)	青銅数
4	$2+{\sqrt {5}}$	4.2360679774…	(A098317)
5	${\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}$	5.1925824035…	(A098318)
6	$3+{\sqrt {10}}$	6.1622776601…	(A176398)
7	${\frac {7+{\sqrt {53}}}{2}}$	7.1400549446…	(A176439)
8	$4+{\sqrt {17}}$	8.1231056256…	(A176458)
9	${\frac {9+{\sqrt {85}}}{2}}$	9.1097722286…	(A176522)
…	…
$n$	${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

自然数 $n$ に対して、第 $n$ 貴金属数は、二次方程式 $x 2 - nx - 1 = 0$ の正の解であり、

{\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}

である。

貴金属数の連分数表示は

n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]

である。

黄金数（第1貴金属数）が、フィボナッチ数列の隣接2項の商の極限で表されるように、一般に第 $n$ 貴金属数にも、隣接2項の商の極限となる数列が存在する。

数列 ${M k}$ を、漸化式

M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}

で定義すると、この一般項は、第 $n$ 貴金属数を $μ$ として、

M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}

で表される。このとき、この数列の隣接2項の商は、 $k \to \infty$ のときに $μ$ に収束する。すなわち、

\lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu

が成り立つ。

青銅比（せいどうひ、英語: bronze ratio）は、

1:{\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}

の比である。近似値は 1 : 3.303。貴金属比の一つ（第3貴金属比）。

青銅比において

{\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}=3.3027756377\cdots

は、二次方程式 $x 2 - 3 x - 1 = 0$ の正の解であり、これを青銅数（せいどうすう、英語: bronze number）という。

青銅数を連分数で表すと

3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}

となる。

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