数学において、複素共役(複素共軛、ふくそきょうやく、英: complex conjugate)とは、複素数の虚部を反数にした複素数をとる操作(写像)のことである。複素数 z の共役複素数を記号で z で表す[注釈 1]。
複素数
z の複素共役
z を取る操作は、
複素数平面では実軸
対称変換に当たる。
複素数 z = a + bi(a, b は実数、i は虚数単位)の共役複素数 z は
である。極形式表示した複素数 z = r(cos θ + i sin θ)(r ≥ 0, θ は実数)の共役複素数 z は、偏角を反数にした複素数である:
複素数の共役をとる複素関数 ・ : C → C ; z ↦ z は環同型である。すなわち次が成り立つ。
複素共役は実数を変えない:
逆に、C 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる[1][2]。
複素共役変換は、C の全ての点で(複素微分)不可能である。
複素共役変換を R 上の線型変換と見ると、その(表現行列)は
代数方程式について、
- 「実係数多項式 P(x) が虚数根 α をもつならば、α の共役複素数 α も P(x) の虚数根である」
すなわち
- 実係数多項式 P(x) について、P(α) = 0 ⇔ P(α) = 0
が成り立つ(1746年、ダランベール)。このことは、複素共役変換は環準同型であることから容易に示せる。
定義と特徴づけ 複素数 z = a + bi(a, b は実数、i は虚数単位)の複素共役とは、
-
を取る操作のことである。この写像を複素共役変換という。
複素共役変換は環同型写像である。すなわち、複素共役変換 ・ : C → C ; z ↦ z に対して、次が成り立つ。
- ・ は全単射
- z + w = z + w
- zw = z w
さらに、複素共役は実数を保つ:
逆に、C 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる[1][2]。
(証明)
- σ : C → C は環準同型写像で、
- 実数 r に対して σ(r) = r
- を満たすとする。
- (σ(i))2 = σ(i2) = σ(−1) = −1
- (σ(i) + i)(σ(i) − i) = 0
- ∴ σ(i) = ±i
- ゆえに、複素数 z = x + yi(x, y は実数)に対して、
- σ(z) = σ(x + yi) = σ(x) + σ(y)σ(i) = x + y σ(i) = x ± yi
- σ(x + yi) = x + yi のとき、σ は恒等写像。
- σ(x + yi) = x − yi のとき、σ は複素共役変換である。(証明終)
性質 計算法則
z, w を複素数とする。以下の性質が成り立つ。
- が実数 ⇔
- が純虚数 ⇔
-
-
-
-
- (n は整数)
上記の3つの性質は、複素共役を特徴付けるため、重要である。
- (対合)
-
-
-
-
-
複素数の種々の値
複素共役を用いると、複素数の実部・虚部、絶対値・偏角を表すことができる。
-
-
-
-
代数方程式
実係数多項式 f(x) が虚数根 α をもつならば、α の共役複素数 α も f(x) の根である。すなわち、実数係数多項式 f(x) について
-
が成り立つ(1746年、ダランベール)。このことは複素共役が環準同型であることから分かる。
複素解析
複素共役変換 ・ : C → C ; z ↦ z は、C の全ての点で(複素微分)不可能である。
実軸の開集合上で実数値をとる実解析的関数について、その解析接続は、共役複素数に対して共役複素数を与える。たとえば複素解析において
-
- (ただし実軸のある領域上で実数値をとる分枝の、複素共役について対称的な領域への拡張について)
が成り立つ。
複素数空間
複素線形空間 Cn の標準内積 <・|・> : Cn × Cn → R≥0 は次の式で定義される:
- に対して、
-
脚注 [脚注の使い方]
注釈
- ^ 複素共役を表すのには上線がよく使われる。上付きのアスタリスク (z*) なども使われるが、行列の随伴行列などとの混乱を避けるためにあまり使われない。
出典
参考文献 - 黒須康之介『複素数』培風館〈新数学シリーズ 16〉、1959年4月。ISBN (978-4-563-00316-6)。
- 高木貞治「第1章 複素数」『代数学講義』(改訂新版)共立出版、1965年11月25日。ISBN (978-4-320-01000-0)。
- 高木貞治『復刻版 近世数学史談・数学雑談』共立出版、1996年12月10日。ISBN (978-4-320-01551-7)。
- 高橋正明『複素数』(改訂版)科学新興新社〈モノグラフ 9〉、2000年10月21日。ISBN (978-4-89428-166-0)。
- 西山清二『教科書だけでは足りない大学入試攻略複素数平面』河合出版〈河合塾シリーズ〉、2018年3月。ISBN (978-4-7772-1496-9)。
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