等速円運動の運動方程式 物体が xy 平面上で原点 O を中心とする半径 r の円運動を行うとする。
物体の位置を点Pとした時の、x軸とOPのなす角を θ {\displaystyle \theta } x 、y 座標は、
x = r cos θ , y = r sin θ {\displaystyle x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta \,}
となる。(1-i) 式を時間t で微分 すると、
d x d t = − r θ ˙ sin θ , d y d t = r θ ˙ cos θ {\displaystyle {dx \over dt}=-r{\dot {\theta }}\sin \theta ,\ {dy \over dt}=r{\dot {\theta }}\cos \theta }
が得られる。 θ ˙ {\displaystyle {\dot {\theta }}} 角速度 という。 θ ˙ {\displaystyle {\dot {\theta }}} 等速円運動 という。この一定値を ω {\displaystyle \omega } θ ˙ = ω {\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega } θ = ω t + α {\displaystyle \theta =\omega t+\alpha } ｔ について積分 している。 α {\displaystyle \alpha } 積分定数 で、物理でいうと初期条件 であり、この場合は初期位相 ）といえる。(1-i)、(1-ii) より、
x = r cos ( ω t + α ) , y = r sin ( ω t + α ) {\displaystyle x=r\cos(\omega t+\alpha ),\ y=r\sin(\omega t+\alpha )}
x ˙ = − r ω sin ( ω t + α ) , y ˙ = r ω cos ( ω t + α ) {\displaystyle {\dot {x}}=-r\omega \sin(\omega t+\alpha ),\ {\dot {y}}=r\omega \cos(\omega t+\alpha )}
となり、(1-iv) から物体の速さ v は x 、y それぞれの速度成分を v x {\displaystyle v_{x}} v y {\displaystyle v_{y}}
{ v x = − r ω sin ( ω t + α ) v y = r ω cos ( ω t + α ) {\displaystyle {\begin{cases}v_{x}=-r\omega \sin(\omega t+\alpha )\\v_{y}=r\omega \cos(\omega t+\alpha )\end{cases}}}
と表すことができ、 v 2 = v x 2 + v y 2 {\displaystyle \mathbf {v} ^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} v 2 = r 2 ω 2 {\displaystyle \mathbf {v} ^{2}=r^{2}\omega ^{2}} v は次のように表される。
| v | = r | ω | {\displaystyle |\mathbf {v} |=r\left|\omega \right|}
(1-v) をさらに t で微分すると、
d 2 x d t 2 = − ω 2 x , d 2 y d t 2 = − ω 2 y {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-\omega ^{2}x,\ {d^{2}y \over dt^{2}}=-\omega ^{2}y}
加速度 a は、 a 2 = a x 2 + a y 2 {\displaystyle \mathbf {a} ^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} a と半径 r には次の関係が成り立つ。
| a | = ω 2 r {\displaystyle |\mathbf {a} |=\omega ^{2}r\,}
等速円運動の向心力 物体に働く力 F は、質量をm 、加速度をa とすると、ニュートン の運動の第二法則 により、 F = m a {\displaystyle F=ma} r ）の中心に向って大きさ
F = m ω 2 r {\displaystyle F=m\omega ^{2}r}
の力が働く。
等速円運動の物理 物体が円軌道を一周するのに要する時間を周期 T といい、角速度をω とするとT は
T = 2 π ω {\displaystyle T={2\pi \over \omega }}
とあらわされる。また、単位時間当たりに回転する回数を回転速度 (あるいは角振動数 ) f といい、f は
f = ω 2 π {\displaystyle f={\omega \over 2\pi }}
(1-ix) 式より、(1-x) 式は
f = 1 T {\displaystyle f={1 \over T}}
とあらわされる。
振動運動との対応 回転運動を回転面上の観測者が真横から見ると物体は単振動 しているように見える。あるいは、物体のｘ座標とｙ座標は互いに位相が90度=π/２ずれた単振動を行っている。
振動運動 では回転速度のことを周波数
概要 物体が半径一定で等速ではない円運動をする場合、物体にはたらく力は円の中心を向かず、 速度 v {\displaystyle v} ω {\displaystyle \omega }
速度の導出 (1-ii)より、
v = r θ ˙ ( − sin θ , cos θ ) {\displaystyle \mathbf {v} =r{\dot {\theta }}\left(-\sin \theta ,\cos \theta \right)}
と、まとめることができるので、大きさ | v | {\displaystyle |\mathbf {v} |}
| v | = r | θ ˙ | {\displaystyle |\mathbf {v} |=r|{\dot {\theta }}|}
である。
また、速度の方向を求めるために、速度 ベクトルと位置ベクトル の内積をとると
v ⋅ r = ( − r θ ˙ sin θ ) ⋅ ( r cos θ ) + ( r θ ˙ cos θ ) ⋅ ( r sin θ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =(-r{\dot {\theta }}\sin \theta )\cdot (r\cos \theta )+(r{\dot {\theta }}\cos \theta )\cdot (r\sin \theta )=0}
であるため、位置ベクトルと直交する方向、すなわち接線方向であることが分かる。 同時に、向心方向の速度成分が 0 {\displaystyle 0}
加速度の導出 次に加速度 a {\displaystyle \mathbf {a} }
θ {\displaystyle \theta } t {\displaystyle t} t {\displaystyle t}
d 2 x d t 2 = − r θ ˙ 2 cos θ − r θ ¨ sin θ , d 2 y d t 2 = − r θ ˙ 2 sin θ + r θ ¨ cos θ {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-r{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -r{\ddot {\theta }}\sin \theta ,\ {d^{2}y \over dt^{2}}=-r{\dot {\theta }}^{2}\sin \theta +r{\ddot {\theta }}\cos \theta }
が得られる。 θ ¨ {\displaystyle {\ddot {\theta }}} 角加速度 という。
a = ( x ¨ , y ¨ ) {\displaystyle \mathbf {a} =({\ddot {x}},{\ddot {y}})}
a = − r θ ˙ 2 ( cos θ , sin θ ) + r θ ¨ ( − sin θ , cos θ ) {\displaystyle \mathbf {a} =-r{\dot {\theta }}^{2}(\cos \theta ,\sin \theta )+r{\ddot {\theta }}(-\sin \theta ,\cos \theta )}
とまとめることができ、さらに(1-i)(2-i)を用いれば
a = − θ ˙ 2 r + θ ¨ θ ˙ v {\displaystyle \mathbf {a} =-{\dot {\theta }}^{2}\mathbf {r} +{\frac {\ddot {\theta }}{\dot {\theta }}}\mathbf {v} }
と求めることができる。
よって、向心方向・接線方向のそれぞれの大きさは
{ a r = r θ ˙ 2 a θ = r | θ ¨ | {\displaystyle {\begin{cases}a_{r}=r{\dot {\theta }}^{2}\\a_{\theta }=r|{\ddot {\theta }}|\end{cases}}}
である。 尚、向心方向の大きさについては、円の外側に向かう向きを正にとっているので注意されたい。
