数学の殊に環論において可換環上の代数あるいは多元環（たげんかん、英: algebra）は、体上の多元環の概念において(係数体)を考えるところを置き換えて可換環を(係数環)としたものである。
本項においては、環と言えば単位元を持つものと仮定する。
厳密な定義
R を可換環とするとき、R 上の多元環 (R-algebra) とは、R-加群 A であって、A の乗法と呼ばれる双線型な二項演算
を備えたものを言う。即ち A の乗法は任意のスカラー a, b ∈ R と任意の元 x, y, z ∈ A について
- 双線型性:
を満たす。
結合多元環
詳細は「結合的多元環」を参照
多元環 A が A の乗法に関して（(単位的)）半群を成す、つまり乗法が結合的（かつ単位元を持つ）ならば、R-多元環 A は R-結合多元環と言う。即ち、結合多元環は、それ自体が（環上の）環を成し、環の概念を一般化するものである。R 上の結合多元環を、環準同型 f: R → A が存在して f の像が A の中心に含まれるような環 A として定義することもできる。
関連項目
例として:
- (分解型双四元数)
参考文献
- Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN (978-0-387-95385-4), MR1878556