無限公理

無限公理（むげんこうり、英: axiom of infinity）とは公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つで、「無限集合の存在」を主張するものである。エルンスト・ツェルメロによって1908年に初めて提示された。

定義

ZF公理系における公式な定義は次の通りである。

空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：

${\displaystyle \exists A(\varnothing \in A\wedge \forall x\in A(x\cup \{x\}\in A))}$ 

解釈と帰結

上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。

まず定義中の集合 ${\displaystyle A}$  は以下の性質を満たすことを確認できる。

• ${\displaystyle \varnothing \in A}$  （空集合 ${\displaystyle \varnothing }$  は ${\displaystyle A}$  の要素である）
• ${\displaystyle \varnothing \cup \{\varnothing \}=\{\varnothing \}\in A}$  （「空集合 ${\displaystyle \varnothing }$  を要素にもつ集合」は ${\displaystyle A}$  の要素である）
• ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\in A}$  （「空集合」と「空集合を要素にもつ集合」の2つを要素にもつ集合は ${\displaystyle A}$  の要素である）
• （以下同様に繰り返す）

各手続きで得られた集合を要素とする集合を ${\displaystyle B:=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\cdots \}}$  とおくと、 ${\displaystyle B}$  は ${\displaystyle A}$  の部分集合である。 この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 ${\displaystyle B}$  は有限集合であり、${\displaystyle A\neq B}$ である。なぜならば定義により ${\displaystyle B\cup \{B\}\in A}$  であるが、${\displaystyle B\cup \{B\}\notin B}$  となるからである。一方 ${\displaystyle A}$  が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで ${\displaystyle B}$  が ${\displaystyle A}$  よりも多くの要素をもつことができてしまう。 従って ${\displaystyle A}$  は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。

上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）

独立性

無限公理はZF公理系において独立した公理である。すなわちZF公理系の他の公理たちから導くことも反証することもできない。

関連項目

• 公理的集合論
• ペアノの公理

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Axiom of Infinity". MathWorld (英語).