概要 ハミルトン力学 では、一般化座標 qi (i =1,..,n ) と対応する一般化運動量 pi (i =1,..,n ) の組からなる、正準変数 (q, p ) = (q 1 ,..., qn ; p 1 ,..., pn ) が独立な変数となる。
相空間 上の運動は、正準変数と時間t の関数であるハミルトニアン H (q, p, t ) を用いて、ハミルトンの運動方程式
q i ˙ = ∂ H ∂ p i {\displaystyle {\dot {q_{i}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}} p i ˙ = − ∂ H ∂ q i {\displaystyle {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}} によって記述される。但し、ドット記号は時間微分 を表す。
ここで、正準変数と時間の関数である新たな変数
Q i = Q i ( q , p , t ) {\displaystyle Q_{i}=Q_{i}(q,p,t)} P i = P i ( q , p , t ) ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle P_{i}=P_{i}(q,p,t)\quad (i=1,\cdots ,n)} が新たな正準変数となるとき、すなわち、新たなハミルトニアンK (Q, P, t ) が存在して、
Q i ˙ = ∂ K ∂ P i {\displaystyle {\dot {Q_{i}}}={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}}} P i ˙ = − ∂ K ∂ Q i {\displaystyle {\dot {P_{i}}}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}} が成り立つとき、(q, p ) →(Q, P ) を正準変換 という。 正準変換の下では、一般化座標と一般化運動量は互いに混ざり合い、等価な役割を果たす。
母関数による構成 正準変換を構成する標準的な手法は、母関数 を用いる手法である。ハミルトンの運動方程式は、作用
S [ q , p ] = ∫ t 1 t 2 { ∑ i = 1 n p i q ˙ i − H ( q , p , t ) } d t {\displaystyle S[q,p]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t)\right\}dt} の変分 δS を最小にするという(ハミルトンの原理 )から導かれる。 したがって、新旧の正準変数とハミルトニアンの間には
∑ i = 1 n p i q ˙ i − H ( q , p , t ) = ∑ i = 1 n P i Q ˙ i − K ( Q , P , t ) + d d t W {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t)=\sum _{i=1}^{n}P_{i}{\dot {Q}}_{i}-K(Q,P,t)+{\frac {d}{dt}}W} という関係式が成り立つ[1] 。 但し、W=W(q, p, Q, P, t ) は新旧の正準変数と時間の任意の関数である。
特に、(q, p, Q, P ) の中から独立な変数として二つを選び、W を定めた場合、両辺の独立な変数に対する微分を考えることで、Q i =Q i (q, p, t ) 、P i =P i (q, p, t ) を定めることができる 。この場合、関数W を与えることで、正準変換が定まることから、W を正準変数の母関数 と呼ぶ。二つの独立な変数の選び方に応じて、四つのタイプの母関数が存在する。
タイプ1 独立な変数として(q, Q ) を選んだ場合、W 1 =W 1 (q, Q, t ) はタイプ1の母関数と呼ばれる。このとき、新旧の正準変数とハミルトニアンの間に以下の関係が成り立つ。
p i = ∂ W 1 ∂ q i , P i = − ∂ W 1 ∂ Q i , H = K − ∂ W 1 ∂ t {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{i}}},\,\,P_{i}=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{1}}{\partial t}}} タイプ2 タイプ1の母関数W 1 =W 1 (q, Q, t ) に対し、ルジャンドル変換
W 2 ( q , P , t ) = W 1 ( q , Q , t ) + ∑ i = 1 n Q i P i {\displaystyle W_{2}(q,P,t)=W_{1}(q,Q,t)+\sum _{i=1}^{n}Q_{i}P_{i}} を施せば、独立な変数として(q, P ) を選んだ場合であるタイプ2の母関数W 2 =W 2 (q, P, t ) が得られる。 このとき、新旧の正準変数とハミルトニアンの間に以下の関係が成り立つ。
Q i = ∂ W 2 ∂ P i , p i = ∂ W 2 ∂ q i , H = K − ∂ W 2 ∂ t {\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial P_{i}}},\,\,p_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial q_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{2}}{\partial t}}} タイプ3 タイプ1の母関数W 1 =W 1 (q, Q, t ) に対し、ルジャンドル変換
W 3 ( Q , p , t ) = W 1 ( q , Q , t ) − ∑ i = 1 n q i p i {\displaystyle W_{3}(Q,p,t)=W_{1}(q,Q,t)-\sum _{i=1}^{n}q_{i}p_{i}} を施せば、独立な変数として(Q, p ) を選んだ場合であるタイプ3の母関数W 3 =W 3 (Q, p, t ) が得られる。 このとき、新旧の正準変数とハミルトニアンの間に以下の関係が成り立つ。
q i = − ∂ W 3 ∂ p i , P i = − ∂ W 3 ∂ Q i , H = K − ∂ W 3 ∂ t {\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial W_{3}}{\partial p_{i}}},\,\,P_{i}=-{\frac {\partial W_{3}}{\partial Q_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{3}}{\partial t}}} タイプ4 タイプ2の母関数W 2 =W 2 (q, P, t ) に対し、ルジャンドル変換
W 4 ( p , P , t ) = W 2 ( q , P , t ) − ∑ i = 1 n q i p i {\displaystyle W_{4}(p,P,t)=W_{2}(q,P,t)-\sum _{i=1}^{n}q_{i}p_{i}} を施せば、独立な変数として(p, P ) を選んだ場合であるタイプ3の母関数W 4 =W 4 (p, P, t ) が得られる。このとき、新旧の正準変数とハミルトニアンの間に以下の関係が成り立つ。
q i = − ∂ W 4 ∂ p i , Q i = ∂ W 4 ∂ P i , H = K − ∂ W 4 ∂ t {\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial W_{4}}{\partial p_{i}}},\,\,Q_{i}={\frac {\partial W_{4}}{\partial P_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{4}}{\partial t}}}
例 恒等変換 正準変換の最も簡単な例は、恒等変換 Q =q 、P =p である。この場合、新たなハミルトニアンはK (Q, P, t )=H (q, p, t ) と不変である。
この正準変換の母関数は
W 2 ( q , P ) = ∑ i = 1 n q i P i {\displaystyle W_{2}(q,P)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}P_{i}} であり、この場合、新旧の正準変数の間には
p i = ∂ W 2 ∂ q i = P i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial q_{i}}}=P_{i}} Q i = ∂ W 2 ∂ P i = q i {\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial P_{i}}}=q_{i}} の関係が満たされている。
一般化座標と一般化運動量の交換 任意の系において、一般化座標と一般化運動量の符号を込めた交換
Q i = p i {\displaystyle Q_{i}=p_{i}} P i = − q i ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle P_{i}=-q_{i}\quad (i=1,\cdots ,n)} は正準変換である。この場合、新たなハミルトニアンはK (Q, P, t )=H (q, p, t )=H (-P, Q, t ) と不変である。
この正準変換の母関数は
W 1 ( q , Q ) = ∑ i = 1 n q i Q i {\displaystyle W_{1}(q,Q)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}Q_{i}} であり、この場合、新旧の正準変数の間には
p i = ∂ W 1 ∂ q i = Q i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{i}}}=Q_{i}} P i = − ∂ W 1 ∂ Q i = − q i {\displaystyle P_{i}=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q_{i}}}=-q_{i}} の関係が満たされている。
一次元調和振動子 質量m 、角振動数ω の一次元調和振動子 では、ハミルトニアンは
H ( q , p ) = 1 2 m p 2 + m ω 2 2 q 2 {\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2m}}p^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q^{2}} で与えられる。母関数を
W 1 ( q , Q ) = 1 2 m ω q 2 cot Q {\displaystyle W_{1}(q,Q)={\frac {1}{2}}m\omega q^{2}\operatorname {cot} {Q}} で与えると、新旧の正準変数の間には
p = ∂ W 1 ∂ q = m ω q cot Q {\displaystyle p={\frac {\partial W_{1}}{\partial q}}=m\omega q\operatorname {cot} {Q}} P = − ∂ W 1 ∂ Q = 1 2 m ω q 2 1 sin 2 Q {\displaystyle P=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q}}={\frac {1}{2}}m\omega q^{2}{\frac {1}{\sin ^{2}{Q}}}} の関係が成り立つ。
また、新しいハミルトニアンは、
K ( Q , P ) = H ( q , p ) = ω P {\displaystyle K(Q,P)=H(q,p)=\omega P} とP だけの関数となる。すなわち、Q は循環座標 である。この場合、Q とP の時間発展は、
Q ( t ) = ω t + β {\displaystyle Q(t)=\omega t+\beta } P ( t ) = E ω = c o n s t . {\displaystyle P(t)={\frac {E}{\omega }}=\operatorname {const.} } と簡単な形で求まる。但し、β は任意の定数、E は保存量 である系のエネルギーである。
ゲージ変換 (電磁ポテンシャルのゲージ変換 )は、座標q を変化させない正準変換
Q i = q i , {\displaystyle Q_{i}=q_{i},} P i = p i + e ∂ u ∂ q i {\displaystyle P_{i}=p_{i}+e{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}} に対応する[2] 。この正準変換の母関数は
W 1 ( q , P , t ) = ∑ i q i P i − e u ( q , t ) {\displaystyle W_{1}(q,P,t)=\sum _{i}q_{i}P_{i}-eu(q,t)} であり、新旧の正準変数の間には
Q i = ∂ W 1 ∂ P i = q i , {\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial P_{i}}}=q_{i},} p i = ∂ W 1 ∂ q i = P i − e ∂ u ∂ q i , {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{i}}}=P_{i}-e{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}},} H = K − ∂ W 1 ∂ t = K + e ∂ u ∂ t {\displaystyle H=K-{\frac {\partial W_{1}}{\partial t}}=K+e{\frac {\partial u}{\partial t}}} の関係が成り立つ。荷電粒子のハミルトニアンH が電磁ポテンシャルϕ , A を用いて
H = 1 2 m ∑ i ( p i − e A i ) 2 + e ϕ {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\sum _{i}(p_{i}-eA_{i})^{2}+e\phi } で表されることから、新しい正準変数でも同じ形式
K = 1 2 m ∑ i ( P i − e A i ′ ) 2 + e ϕ ′ {\displaystyle K={\frac {1}{2m}}\sum _{i}(P_{i}-eA'_{i})^{2}+e\phi '} が成り立つことが分かる。ここでϕ ′, A ′ はゲージ変換した電磁ポテンシャル
ϕ ′ = ϕ − ∂ u ∂ t , {\displaystyle \phi '=\phi -{\frac {\partial u}{\partial t}},} A i ′ = A i + ∂ u ∂ q i {\displaystyle A'_{i}=A_{i}+{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}} である。
正準変換の性質 ポアソン括弧の不変性 正準変換(q, p ) →(Q, P ) に対し、ポアソン括弧 は不変に保たれる。すなわち、元の正準変数に対するポアソン括弧を{ , }q,p 、新しい正準変数に対するポアソン括弧を{ , }Q,P と表すと、
{ f , g } q , p = { f , g } Q , P {\displaystyle \{f,g\}_{q,p}=\{f,g\}_{Q,P}}
が成り立つ。逆にポアソン括弧を不変に保つ変数変換は正準変換となる。ポアソン括弧の不変性が成り立つには、
{ Q i , Q j } q , p = 0 {\displaystyle \{Q_{i},Q_{j}\}_{q,p}=0} { P i , P j } q , p = 0 {\displaystyle \{P_{i},P_{j}\}_{q,p}=0} { Q i , P j } q , p = δ i j ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle \{Q_{i},P_{j}\}_{q,p}=\delta _{ij}\quad (i=1,\cdots ,n)} が満たされていればよい。但し、δij はクロネッカーのデルタ である。
群の構造 正準変換は次の性質を満たしており、群 の構造を持つ。
恒等変換は正準変換である。 正準変換に対し、逆変換 が存在し、逆変換も正準変換となる。 2つの正準変換の合成 は正準変換である。 正準変換の合成は結合法則 を満たす。
微小正準変換と対称性 微小正準変換 正準変数(q, p ) を微小変化させる微小正準変換
Q i = q i + δ q i ( q , p , t ) {\displaystyle Q_{i}=q_{i}+\delta q_{i}(q,p,t)} P i = p i + δ p i ( q , p , t ) ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle P_{i}=p_{i}+\delta p_{i}(q,p,t)\quad (i=1,\cdots ,n)} の母関数は、恒等変換を与える母関数にεG (q, P, t ) を加えた
W 2 ( q , P ) = ∑ i = 1 n q i P i + ϵ G ( q , P , t ) {\displaystyle W_{2}(q,P)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}P_{i}+\epsilon G(q,P,t)} の形で与えられる。但し、ε は微小定数、 G (q, P, t ) は任意の関数である。
このとき、微小変化(δq , δp ) は
δ q i ( q , p , t ) = ϵ ∂ G ( q , p , t ) ∂ p i {\displaystyle \delta q_{i}(q,p,t)=\epsilon {\frac {\partial G(q,p,t)}{\partial p_{i}}}} δ p i ( q , p , t ) = − ϵ ∂ G ( q , p , t ) ∂ q i {\displaystyle \delta p_{i}(q,p,t)=-\epsilon {\frac {\partial G(q,p,t)}{\partial q_{i}}}} となる。任意の力学量F (q, p, t ) に対し、微小正準変換に対する変化
δ F = F ( q + δ q , p + δ p , t ) − F ( q , p , t ) {\displaystyle \delta F=F(q+\delta q,p+\delta p,t)-F(q,p,t)} は、ポアソン括弧を用いて、
δ F = ϵ { F , G } p , q {\displaystyle \delta F=\epsilon \{F,G\}_{p,q}} で与えられる。
例 時間発展 G として、ハミルトニアンH (q, p, t ) をとれば、
δ q i = ϵ ∂ H ( q , p , t ) ∂ p i = ϵ q ˙ i {\displaystyle \delta q_{i}=\epsilon {\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial p_{i}}}=\epsilon {\dot {q}}_{i}} δ q i = − ϵ ∂ H ( q , p , t ) ∂ q i = ϵ p ˙ i {\displaystyle \delta q_{i}=-\epsilon {\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial q_{i}}}=\epsilon {\dot {p}}_{i}} であるから、正準変換は
Q i = q i ( t ) + δ q i = q i ( t + ϵ ) {\displaystyle Q_{i}=q_{i}(t)+\delta q_{i}=q_{i}(t+\epsilon )} P i = p i ( t ) + δ p i = p i ( t + ϵ ) {\displaystyle P_{i}=p_{i}(t)+\delta p_{i}=p_{i}(t+\epsilon )} となる。すなわち、微小時間ε における時間発展は、ハミルトニアンによる微小正準変換となる。有限時間での時間発展は、微小時間における時間発展を繰り返し合成することで得られる。正準変換の合成も正準変換であるため、(q, p ) の時間発展は、正準変換の特別な例となっている。
リウヴィルの定理 相空間の体積要素
∏ i = 1 n d q i d p i = d q 1 d p 1 ⋯ d q n d p n {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=dq_{1}dp_{1}\cdots dq_{n}dp_{n}} は正準変換(q, p ) →(Q, P ) の下、不変となる。
∏ i = 1 n d q i d p i = ∏ i = 1 n d Q i d P i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=\prod _{i=1}^{n}dQ_{i}dP_{i}} したがって、相空間のある領域γ が正準変換により、領域Γ に写されるとすると、
∫ ⋯ ∫ γ ∏ i = 1 n d q i d p i = ∫ ⋯ ∫ Γ ∏ i = 1 n d Q i d P i {\displaystyle \int \cdots \int _{\gamma }\prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=\int \cdots \int _{\Gamma }\prod _{i=1}^{n}dQ_{i}dP_{i}} が成り立つ。すなわち、領域γ の体積は正準変換(q, p ) →(Q, P ) で不変に保たれる。
特に、時間発展は正準変換の特別な例であり、領域γ(t ) の時間発展を考えると、リウヴィルの定理
∫ ⋯ ∫ γ ( t ) ∏ i = 1 n d q i d p i = c o n s t . {\displaystyle \int \cdots \int _{\gamma (t)}\prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=\operatorname {const.} } が導かれる。
ハミルトン-ヤコビの理論 新ハミルトニアンが恒等的にゼロ K(Q, P, t )≡0 となる正準変換(q, p ) →(Q, P ) を考えると 、ハミルトンの運動方程式は
Q i ˙ = ∂ K ∂ P i = 0 {\displaystyle {\dot {Q_{i}}}={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}}=0} P i ˙ = − ∂ K ∂ Q i = 0 ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle {\dot {P_{i}}}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}=0\quad (i=1,\cdots ,n)} と簡単な形になる。このとき、新たな正準変数(Q, P ) は定数(β, α ) となる。
Q i = β i {\displaystyle Q_{i}=\beta _{i}} P i = α i ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle P_{i}=\alpha _{i}\quad (i=1,\cdots ,n)} このような正準変換を生む母関数として、タイプ2の母関数S =W 2 (q, P, t ) を選べば、母関数S (q, P, t ) と元のハミルトニアンH(q, p, t ) の間には、
H ( q , ∂ S ∂ q , t ) + ∂ S ∂ t = 0 {\displaystyle H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0} という関係式が成り立つ。但し、K(Q, P, t )≡0 とpi =∂ S/∂ qi であることを用いている。この1階の偏微分方程式をハミルトン-ヤコビ方程式 という。
幾何学的観点
脚注 [脚注の使い方 ]
^ 実際は、左辺に定数λ≠0 を乗じる自由度があるが、正準変数のスケール変換を考えることでλ=1 としてよい。(H. Goldstein,C. Poole and J. Safko(2000)chapter.9を参照) ^ 冨田博之. “正準変換 覚え書き - 簡単な場合ほど面食らう?”. 2022年6月18日 閲覧。
参考文献 H. Goldstein,C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics (3rd edition) , Addsion Wesley (2000); 瀬川富士、矢野忠、江沢康生 (翻訳)『古典力学〈上〉 (物理学叢書)』 吉岡書店 (2006) (ISBN 978-4842703367 ) 畑浩之 (著)、 益川敏英 (監修)、 植松恒夫、青山秀明 (編集) 『解析力学 (基幹講座物理学)』 東京図書 (2014) (ISBN 978-4489021688 ) 並木美喜雄 『解析力学 (パリティ物理学コース)』 丸善(1991)(ISBN 978-4621036372 )
関連項目