次数付き微分代数

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次数付き微分代数

数学の特に抽象代数学および代数的位相幾何学における次数付き微分環（じすうつきびぶんかん、英: differential graded algebra; 次数付き微分代数、微分次数環）は、その多元環構造に両立する鎖複体の構造を併せ持つ次数付き環を言う。

定義

次数付き微分環 (differential graded algebra) または短くDG代数とは、次数付き多元環 $A$ とその上の次数 $1$ または次数 $-1$ の何れかである写像 $d : A \to A$ で以下の性質を持つものとの組 $(A, d)$ を言う。

$d\circ d=0$ . ^{[注釈 1]}
$d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\operatorname {deg} (a)}a\cdot (db)$ , ただし $deg$ は各斉次元の次数を表す。^{[注釈 2]}

この定義をより簡潔（だがやや難解）な形で述べれば、次数付き微分環とは鎖複体全体の成すモノイド圏におけるモノイド対象のことである。次数付き微分環の間の次数付き微分準同型 (DG射) とは、微分 $d$ と両立する次数付き多元環の準同型を言う。

次数付き微分(添加代数)（英語版）（DGA代数、添加DG代数、DGA）とは、係数環へのDG射を備えた次数付き微分代数を言う（この用語法はアンリ・カルタンによるものである^[1]）

注: 文献によっては、DG代数の意味で DGA と言っている場合があるので注意。

例

(コジュル複体)（英語版）は次数付き微分環である。
テンソル代数もまたコジュル複体同様に微分を持つ次数付き微分環となる。
位相空間の、 $Z / p Z$ -係数特異コホモロジーは以下の通り次数付き微分環となる: 複体の微分は短完全列 $0 \to Z / p Z \to Z / p 2 Z \to Z / p Z \to 0$ に付随する(ボクシュタイン準同型)（英語版）によって与えられ、環の乗法はカップ積で与えられる。
可微分多様体上の微分形式の全体に外微分と外積を入れて次数付き微分が考えられる。ド・ラムコホモロジーの項を参照。

次数付き微分環に関するその他の事実

次数付き微分環 $(A, d)$ のホモロジー $H * (A) ≔ ker(d)/im(d)$ は次数付き多元環を成す。また次数付き添加代数のホモロジーは(添加代数)（英語版）となる。

関連項目

(次数付き微分圏)（英語版）
(次数付き微分リー環)（英語版）
(次数付き微分スキーム)（英語版）: 次数付き可換微分環のスペクトルをエタール位相に関して貼り合わせて得られる

注

注釈

^ したがって $d$ は、それが次数を上げる場合、 $A$ は鎖複体の構造を持ち、 $d$ はその鎖複体の「微分」となる。次数を上げる場合も同様に、双対鎖複体の「微分」となる。
^ これは $d$ が次数付きの意味での積の微分法則を満足することを言うものである

出典

^ Cartan, H. (1954), “Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane H(Π,n)”, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 40: 467–471

参考文献

Manin, Yuri Ivanovich; Gelfand, Sergei I. (2003), Methods of Homological Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN (978-3-540-43583-9) , see sections V.3 and V.5.6

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