楕円型偏微分方程式

数学の分野における楕円型偏微分方程式（だえんがたへんびぶんほうていしき、英: elliptic partial differential equation）とは、一般的な二階の偏微分方程式

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\,}$

で次の条件を満たすもののことを言う：

${\displaystyle B^{2}-AC<0.\ }$

（ここで、暗に ${\displaystyle u_{xy}=u_{yx}}$ を意味している）。

円錐断面や二次形式を分類する際に判別式 ${\displaystyle B^{2}-4AC}$ を利用するように、二階の偏微分方程式に対しても、ある与えられた点において、同様の分類が行われる。ただし、上の例のように偏微分方程式の慣習として係数のひとつが「2B」であり、これを前提として対応する判別式は${\displaystyle B^{2}-AC}$ となる（詳細については「二階の方程式（英語版）」を参照されたい）。前述の形式は、平面上の楕円の方程式

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0}$

と同様のものである。この方程式は（${\displaystyle u_{xy}=u_{yx}=0}$ である場合には）

${\displaystyle Au_{xx}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0}$

および ${\displaystyle Ax^{2}+Cy^{2}+\cdots =0}$ へと変わる。これは、標準的な楕円の方程式 ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-1=0}$ に類似している。

一般的に、n 個の独立変数 x₁, x₂ , ..., x_n が与えられた際に、二階の線型偏微分方程式は次の形で記述される：

${\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad {\text{ + (lower-order terms)}}=0\,}$,

ここで、L は楕円型作用素である。

例えば、三次元 (x,y,z) においては

${\displaystyle a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+b{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+c{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+d{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\partial z}}+e{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}{\text{ + (lower-order terms)}}=0,}$

が得られる。ここで、u が(完全分離可能)（英語版）（すなわち、u(x,y,z)=u(x)u(y)u(z)）である場合には、

${\displaystyle a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+c{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+e{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}{\text{ + (lower-order terms)}}=0}$

が得られる。

これは、楕円体の方程式 ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}-1=0}$ と対応している。 いちばん簡単な例は,

${\displaystyle \triangle u=f(x)}$

のようなラプラス方程式である。

関連項目

• 楕円型作用素
• 双曲型偏微分方程式
• 放物型偏微分方程式
• ポアソン方程式