有理化

数学において、有理化（ゆうりか、英: rationalization）とは、根号を含む式（とくに平方根を含む分数式の分母または分子）から根号を取り除く式変形のことである。根号を持つ無理数（代数的無理数）を有理数に変える操作であることからこの名がある。

概要

有理化をすることで計算がしやすくなったりする。例えば

${\displaystyle {\frac {1}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {1(2-{\sqrt {3}})}{(2+{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})}}={\frac {2-{\sqrt {3}}}{4-3}}={2-{\sqrt {3}}}}$ 

などがあげられる。

抽象代数学的にはこの例は、${\displaystyle \mathbb {Q} }$  を有理数体、${\displaystyle d\in \mathbb {Q} }$  が有理数の平方ではないとしたとき

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\left\{{\frac {a+b{\sqrt {d}}}{a'+b'{\sqrt {d}}}}\,{\Big |}\,a,a',b,b'\in \mathbb {Q} \right\}}$ 

という ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  の二次拡大体を考えると、

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}](=\{a+b{\sqrt {d}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \})}$ 

が成り立つ、という主張に一般化できる。

これは ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$  の各元 ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$  に対し、その拡大 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$  に関する共役元 ${\displaystyle a-b{\sqrt {d}}}$  を掛ければ

${\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}}):=(a+b{\sqrt {d}})(a-b{\sqrt {d}})=a^{2}-b^{2}d}$ 

（この ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})}$  は ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$  の（拡大 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$  に関する）ノルムと呼ばれる。）が ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  に属すということからまさに有理化によって 証明されるわけである。

一般に、体 K の（有限次ガロア）拡大体 L の元に対し、その元の拡大 L/K に関する共役元（二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある）をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 K に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。

実数化

${\displaystyle \mathbb {Q} }$  以外の体の拡大についても同様のことができる。たとえば、${\displaystyle \mathbb {Q} }$  を実数体 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  にとりかえ、d = −1 としてみよう。

${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ({\sqrt {-1}})=\{a+b{\sqrt {-1}}\mid a,b\in \mathbb {R} \}}$ 

（ここで、${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$  は虚数単位のことである。）であって、各元（つまり複素数）${\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {-1}}}$  の ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$  に関する共役元とは、共役複素数 ${\displaystyle a-b{\sqrt {-1}}}$  のことであるということに注意して、そのノルムを計算すると

${\displaystyle N(\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=(a+b{\sqrt {-1}})(a-b{\sqrt {-1}})=a^{2}+b^{2}}$ 

は ${\displaystyle \mathbb {R} }$  に属する。したがってたとえば、

${\displaystyle {\frac {1}{2+{\sqrt {-1}}}}={\frac {1(2-{\sqrt {-1}})}{(2+{\sqrt {-1}})(2-{\sqrt {-1}})}}={\frac {2-{\sqrt {-1}}}{4+1}}={\frac {2-{\sqrt {-1}}}{5}}}$ 

などの変形が可能である。このような変形を（分母の）実数化ということがある。

出典

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参考文献

関連項目