数学 において、ユークリッド空間 R n のある集合 S が星状領域 (せいじょうりょういき、英 : star domain )あるいは星状凸集合 、星状集合 または放射凸集合 であるとは、S 内のある x 0 に対し、それと S 内の任意の x を結ぶ線分 が S に含まれることをいう。この定義は直ちに、任意の実 あるいは複素 ベクトル空間 に一般化される。
星状領域(星状凸あるいは星状集合とも呼ばれる)は、必ずしも通常の意味での
凸 ではない。
直感的に、S をある壁で囲われた領域としたとき、S 内の任意の場所 x に視線を送ることが出来るある場所 x 0 が S 内に存在するなら、S は星状領域である。
例 R n 内の任意の直線あるいは平面は、星状領域である。 直線あるいは平面からある一点が除かれたものは、星状領域ではない。 A を R n 内の集合とするとき、A 内のすべての点を原点とつなげることで得られる集合 B = { t a : a ∈ A , t ∈ [ 0 , 1 ] } {\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}} は、星状領域である。 任意の空 でない凸集合 は、星状領域である。ある集合が凸であるための必要十分条件は、それがその集合内の任意の点に関して星状領域となることである。 十字 の形をした領域は星状領域であるが、凸ではない。 (星状多角形 )(英語版) は、境界が連結された線分であるような星状領域である。
性質 星状領域の閉包 も星状領域であるが、星状領域の内部 は必ずしも星状領域ではない。 すべての星状領域は、直線ホモトピー による可縮 集合である。特に、すべての星状領域は単連結 である。 すべての星状領域は、それ自身に縮めることが出来る。すなわち、任意の縮小率 r <1 に対して、r で縮小された星状領域は、元の星状領域に含まれる[1] 、 二つの星状領域の合併や共通部分は、必ずしも星状領域ではない。 R n 内の空でない開の星状領域 S は、R n と微分同相 である。
関連項目 (美術館問題 )(英語版) (星状多角形 )(英語版) 均衡集合
参考文献 ^ “What polygons can be shrinked into themselves?”. Math Overflow . 2014年10月2日 閲覧。 Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis . Cambridge University Press, 1983, (ISBN 0-521-28763-4 ), MR 0698076 C.R. Smith, A characterization of star-shaped sets , American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (April 1968). p. 386, MR 0227724, JSTOR 2313423
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、星状領域 に関連するカテゴリがあります。
Weisstein, Eric W . "Star convex ". MathWorld (英語). ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム。