文様群（もんようぐん、英: wallpaper group）もしくは壁紙群（かべがみぐん）は、パターンの対称性に基づく、2次元内での繰り返しパターンに関する数学的な分類である。このようなパターンは、建築や美術で頻繁に使用され、そのパターンは17種に大別される。
歴史
1891年にEvgraf Fedorovによって、2次元空間内での繰り返しパターンが17種に大別されることの証明が試みられ[1]、1924年George Pólyaによって証明された[2]。
卜部東介（1953–2011、当時茨城大学）が、2002年に 利根安見子、近藤誠造（京都府立大学）の協力のもと、日本の伝統文様には17種類の文様群すべてが含まれていることをインターネット上に発表した。[1]
導入
文様群は、対称性によるパターン分類であるため、色・形状・サイズが大きく違う場合でも、同じグループに分類される。
対称性
17種のパターンは対称性の組み合わせからなっている。
文様群の表記
結晶学記法
結晶は3次元空間の空間群で属するが、2次元の文様群を表記することは可能である。
- 基本胞（primitive cell）の場合P、中心胞 (centered cell) の場合はCが頭文字となる。
- 回転対称数：360°/n 回
- 鏡映：鏡映対称性が組み合わさった場合は、mirror isometriesからm、鏡映していない場合は1（もしくは省略）
- 映進：映進対称性が組み合わさった場合は、Glide reflectionsからg、映進していない場合は1（もしくは省略）
例
- p2 (p211): 基本胞、回転対称2、鏡映・映進無し
- c2mm: 中心胞、回転対称2、主軸と垂直の軸で鏡映
- p31m: 基本胞、回転対称3、鏡軸は60°の鏡映
オービフォルド記法
詳細は「(オービフォルド記法)」を参照
17種の文様群
- 記号説明
- ひし形は 180° (= 360°/ 2) の回転中心
- 三角形は、120° (= 360°/3) の回転中心
- 正方形は、90° (= 360°/4) の回転中心
- 六角形は、60° (= 360°/6) の回転中心
- 太い線は鏡映軸
- 鏡映と並進を組み合わせた映進軸
- 黄色い領域は、基本パターンである。
p1群
P1群は、並進のみの連続パターンで、その他の回転などは含まない。
- オービフォルド記法：o
- 点群: C1
日本の伝統文様における代表例＜雲立涌＞
p2群
- オービフォルド記法：2222
- 点群: C2
日本の伝統文様における代表例＜子持吉原＞
pm群
- オービフォルド記法：**
- 点群: D1
日本の伝統文様における代表例＜桐立涌＞
pg群
- オービフォルド記法：××
- 点群: D1
日本の伝統文様における代表例＜鎌輪ぬ＞
cm群
- オービフォルド記法：*×
- 点群: D1
日本の伝統文様における代表例＜青海波＞
p2mm群
- オービフォルド記法：*2222
- 点群: D2
日本の伝統文様における代表例＜両滝縞＞
p2mg群
- オービフォルド記法：22*
- 点群:
日本の伝統文様における代表例＜山路文＞
p2gg群
- オービフォルド記法：22×
- 点群:
日本の伝統文様における代表例＜紗綾形＞
c2mm群
- オービフォルド記法：2*22
- 点群:
日本の伝統文様における代表例＜松皮菱＞
p4群
- オービフォルド記法：442
- 点群:
日本の伝統文様における代表例＜角繋ぎ＞
p4mm群
- オービフォルド記法：*442
- 点群:
日本の伝統文様における代表例＜市松＞
p4mg群
- オービフォルド記法：4*2
- 点群:
日本の伝統文様における代表例＜五崩し＞
p3群
- オービフォルド記法：333
- 点群:
日本の伝統文様における代表例＜鶴亀甲＞
p3m1群
- オービフォルド記法：*333
- 点群:
日本の伝統文様における代表例＜毘沙門亀甲＞
p31m群
- オービフォルド記法：3*3
- 点群:
日本の伝統文様における代表例＜毘沙門亀甲２＞
p6群
- オービフォルド記法：632
- 点群:
日本の伝統文様における代表例＜六つ手卍＞
p6mm群
- オービフォルド記法：*632
- 点群:
日本の伝統文様における代表例＜麻の葉＞
参考文献
- ^ E. Fedorov (1891) "Simmetrija na ploskosti" [Symmetry in the plane], Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society], series 2, vol. 28, pages 245-291 (in Russian)
- ^ George Pólya (1924) "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene," Zeitschrift für Kristallographie, vol. 60, pages 278–282.