階数 n の非斉次常微分方程式
(i) y ( n ) ( x ) + ∑ i = 0 n − 1 a i ( x ) y ( i ) ( x ) = b ( x ) {\displaystyle {\text{(i) }}\quad y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=b(x)} が与えられたとき、y 1 , …, y n を対応する斉次方程式
(ii) y ( n ) ( x ) + ∑ i = 0 n − 1 a i ( x ) y ( i ) ( x ) = 0 {\displaystyle {\text{(ii) }}\quad y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=0} の解の基本系とすると、もとの非斉次方程式のひとつの特殊解が
(iii) y p ( x ) = ∑ i = 1 n c i ( x ) y i ( x ) {\displaystyle {\text{(iii) }}\quad y_{p}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}(x)} で与えられる。ここで、c i (x ) は連続函数で方程式
(iv) ∑ i = 1 n c i ′ ( x ) y i ( j ) ( x ) = 0 ( j = 0 , … , n − 2 ) {\displaystyle {\text{(iv) }}\quad \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(j)}(x)=0\quad (j=0,\ldots ,n-2)} を満足する。(iii) を (i) に代入して (iv) を適用すれば
(v) ∑ i = 1 n c i ′ ( x ) y i ( n − 1 ) ( x ) = b ( x ) {\displaystyle {\text{(v) }}\quad \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)=b(x)} を得る。y i (x ) たちは線型独立だから、条件を満たすにはすべての x および i に対して c i ′ = 0 でなければならない。従って、b (x ) = 0 の場合には、すべての c i (x ) が x に無関係な定数になる。
この n 本の線型方程式系はクラメルの公式 を用いて解くことができて、
c i ′ ( x ) = W i ( x ) W ( x ) , ( i = 1 , … , n ) {\displaystyle c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}},\quad (i=1,\ldots ,n)} が導かれる。ただし、W (x ) は解の基本系のロンスキー行列式 で、W i (x ) は基本系のロンスキー行列式の第 i -列を (0, 0, …, b (x )) で置き換えたものとする。
ゆえに、非斉次方程式の特殊解は
∑ i = 1 n [ ∫ W i ( x ) W ( x ) d x ] y i ( x ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left[\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}dx\right]y_{i}(x)} と書くことができる。
特定の二階方程式 方程式
y ″ + 4 y ′ + 4 y = cosh x {\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh {x}} を解くことを考える。一般解を求めるために、斉次方程式
y ″ + 4 y ′ + 4 y = 0 {\displaystyle y''+4y'+4y=0} を解くと、この固有多項式は
λ 2 + 4 λ + 4 = ( λ + 2 ) 2 {\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}} で、固有値 −2 は重根であるから、u 1 = e −2x および u 2 = xe −2x が基本解となる。これらのロンスキー行列式は
| e − 2 x x e − 2 x − 2 e − 2 x − e − 2 x ( 2 x − 1 ) | = e − 4 x {\displaystyle {\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\end{vmatrix}}=e^{-4x}} である。これは 0 でないから、この二つの函数は確かに斉次方程式の一般解を生成する。
従って、A (x )u 1 + B (x )u 2 が非斉次方程式の一般解となるような A (x ), B (x ) を求めればよいが、それには積分
A ( x ) = − ∫ 1 W u 2 ( x ) b ( x ) d x , B ( x ) = ∫ 1 W u 1 ( x ) b ( x ) d x {\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}\,u_{2}(x)b(x)\,dx,\quad B(x)=\int {1 \over W}\,u_{1}(x)b(x)\,dx} を計算すればよい。結局、
{ A ( x ) = − ∫ x e 2 x cosh x d x = − 1 18 e x ( 9 ( x − 1 ) + e 2 x ( 3 x − 1 ) ) + C 1 B ( x ) = ∫ e 2 x cosh x d x = 1 6 e x ( 3 + e 2 x ) + C 2 {\displaystyle {\begin{cases}A(x)=-\int xe^{2x}\cosh {x}\,dx=-{1 \over 18}e^{x}(9(x-1)+e^{2x}(3x-1))+C_{1}\\B(x)=\int e^{2x}\cosh {x}\,dx={1 \over 6}e^{x}(3+e^{2x})+C_{2}\end{cases}}} が求まる。ただし、C 1 , C 2 は積分定数である。
一般の二階方程式 微分方程式
u ″ + p ( x ) u ′ + q ( x ) u = f ( x ) {\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)} を解くにあたって、D を微分演算子 として線型微分作用素
L = D 2 + p ( x ) D + q ( x ) {\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)} を定義すると、L および f (x ) が既知として、方程式 Lu = f を u に関して解けばよい、ということになる。
定数変化法を用いるために、まずは対応する斉次方程式
u ″ + p ( x ) u ′ + q ( x ) u = 0 {\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0} を解かねばならない。この方程式は二階であるから、線型独立な二つの解 u 1 , u 2 が得られれば、定数変化法を適用することができる。
求める微分方程式の一般解 u G は
u G ( x ) = A ( x ) u 1 ( x ) + B ( x ) u 2 ( x ) {\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)} の形をしているはずである。ただし、A (x ), B (x ) は未知で、u 1 (x ), u 2 (x ) は斉次方程式の解である。A (x ) と B (x ) がともに定数ならば Lu G = 0 となるのは明らかである。A = A (x ), B = B (x ) は
A ′ ( x ) u 1 ( x ) + B ′ ( x ) u 2 ( x ) = 0 {\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0} となるものと仮定すると、
u G ′ ( x ) = A ( x ) u 1 ′ ( x ) + B ( x ) u 2 ′ ( x ) {\displaystyle u_{G}'(x)=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)} となり、さらに微分して
u G ″ ( x ) = A ( x ) u 1 ″ ( x ) + B ( x ) u 2 ″ ( x ) + A ′ ( x ) u 1 ′ ( x ) + B ′ ( x ) u 2 ′ ( x ) {\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)} を得る。従って、L の u G への作用は
L u G = A ( x ) L u 1 ( x ) + B ( x ) L u 2 ( x ) + A ′ ( x ) u 1 ′ ( x ) + B ′ ( x ) u 2 ′ ( x ) {\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)} と書くことができるが、u 1 と u 2 は斉次方程式の解だから
L u G ( = f ) = A ′ ( x ) u 1 ′ ( x ) + B ′ ( x ) u 2 ′ ( x ) {\displaystyle Lu_{G}(=f)=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)} となる。
以上から連立方程式
( u 1 ( x ) u 2 ( x ) u 1 ′ ( x ) u 2 ′ ( x ) ) ( A ′ ( x ) B ′ ( x ) ) = ( 0 f ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}} が得られたので、A (x ), B (x ) を求めるために、これを A ′, B ′ について解くと
( A ′ ( x ) B ′ ( x ) ) = 1 W ( u 2 ′ ( x ) − u 2 ( x ) − u 1 ′ ( x ) u 1 ( x ) ) ( 0 f ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={1 \over W}{\begin{pmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}} を得る。ただし W は u 1 と u 2 のロンスキー行列式 である(u 1 と u 2 が線型独立であるという仮定から W が 0 でないことは分かっている)。ゆえに
A ( x ) = − ∫ 1 W u 2 ( x ) f ( x ) d x , B ( x ) = ∫ 1 W u 1 ( x ) f ( x ) d x {\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}\,u_{2}(x)f(x)\,dx,\quad B(x)=\int {1 \over W}\,u_{1}(x)f(x)\,dx} を得る。
斉次方程式が比較的容易に解ける限り、この方法で非斉次方程式の一般解の係数を計算することができて、非斉次方程式の完全な一般解を決定することができる。
A (x ) も B (x ) も任意定数(積分定数 )を除いて定まる点に注意。元々の方程式が二階だったので、積分定数が2個出ることは予期されることである。A (x ) または B (x ) に定数を加えても、L は線型 だから、Lu G (x ) の値は変わらない。