多重円板

数学の一分野である多変数複素関数論において、多重円板は円板の直積集合である。

より具体的には、 ${\displaystyle D(z,r)}$を複素平面上の中心zと半径rを持つ開円板とするとき、開多重円板は次の直積集合として表される。

${\displaystyle D(z_{1},r_{1})\times \dots \times D(z_{n},r_{n}).}$

同値なことだが

${\displaystyle \{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}:\vert z_{k}-w_{k}\vert <r_{k},{\mbox{ for all }}k=1,\dots ,n\}.}$

とも表される。

多重円板は、しばしばC ^Nにおける開球と間違われるが、これは以下の形で定義されるものである。

${\displaystyle \{w\in \mathbf {C} ^{n}:\lVert z-w\rVert <r\}.}$

ここでは、ノルムはC^Nの通常のユークリッド距離を考える。

${\displaystyle n>1}$ のときには、開球と開多重円板の間には双正則写像が存在せず、双正則同値にならない。これは、1907年にポアンカレによって、自己同形群がリー群として次元が異なることを示すことによって証明された。 ^[1]

多重円板は、ラインハル領域における対数凸な集合の例になっている。

脚注

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1. ^ Poincare, H,Les fonctions analytiques de deux variables et la r?epresentation conforme, Rend. Circ. Mat. Palermo23 (1907), 185-220

参考文献

• Steven G Krantz (Jan 1, 2002). Function Theory of Several Complex Variables. American Mathematical Society. ISBN (0-8218-2724-3) 
• John P D'Angelo, D'Angelo P D'Angelo (Jan 6, 1993). Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces. CRC Press. ISBN (0-8493-8272-6) 

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