垂心

初等幾何学における垂心（すいしん、英: orthocenter）は、三角形の3つの頂点から対辺に引いた三本の垂線の交点。

三角形の3本の垂線と垂心

三角形ABCの垂心は三角形A'B'C'の外心に一致する

性質

 

三角形の垂心で交わる３本の頂垂線によって作られる６つの角には、図のように当該三角形の３つの角が２つずつ含まれる。 また、三角形の各辺を頂垂線との交点で分割し、分割後のそれぞれの長さの辺を持つ正方形を作り（６つ）、 図のように時計回りに赤・青・赤・青・赤・青とグループ分けして、赤と青の面積を求めると、両面積は等しくなっている。

3つの頂点を A,B,C、垂心を H、3本の垂線の足を H_a,H_b,H_c とする。

• 重心・外心と同一直線上にある。この線をオイラー線という。
• 直角三角形の垂心は、直角となる頂点である。鈍角三角形の垂心は、その三角形の外部にある。
• 垂心は三角形H_aH_bH_cの内心か傍心となる。
• 垂心と外心の中点は九点円の中心である。
• 三角形ABHの垂心は、Cである。
• ${\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HH_{a}}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HH_{b}}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HH_{c}}}}$ 
• ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {AH}{\cos \alpha }}={\frac {BH}{\cos \beta }}={\frac {CH}{\cos \gamma }}=2R}$ 
  • a,b,c は3辺の長さ。α・β・γは3つの角。R は外接円の半径である。
• P を外接円上の点とし、M を PH の中点とする。
  • M は九点円上にある。
  • P におけるシムソン線は M を通る。
• 各頂点ABCを通る対辺に対する平行線を3本とも引き、新たな三角形A'B'C'を作る（右図参照）。このとき、三角形ABCの垂心と三角形A'B'C'の外心は一致する。

垂心の座標

座標平面において、3頂点の座標を(x_a,y_a), (x_b,y_b), (x_c,y_c)とすると、垂心の座標は以下のようになる。

${\displaystyle \left({\frac {\left|{\begin{array}{ccc}-x_{b}x_{c}-y_{a}^{2}&y_{a}&1\\-x_{a}x_{c}-y_{b}^{2}&y_{b}&1\\-x_{a}x_{b}-y_{c}^{2}&y_{c}&1\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{ccc}x_{a}&y_{a}&1\\x_{b}&y_{b}&1\\x_{c}&y_{c}&1\end{array}}\right|}},{\frac {\left|{\begin{array}{ccc}x_{a}&-x_{a}^{2}-y_{b}y_{c}&1\\x_{b}&-x_{b}^{2}-y_{a}y_{c}&1\\x_{c}&-x_{c}^{2}-y_{a}y_{b}&1\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{ccc}x_{a}&y_{a}&1\\x_{b}&y_{b}&1\\x_{c}&y_{c}&1\end{array}}\right|}}\right).}$ 

3頂点が単位円周上にある場合、以下のように簡単に書くことができる。

(x_a+x_b+x_c,y_a+y_b+y_c)

重心座標による垂心の座標は tanα:tanβ:tanγ となる。

関連項目

• 三角形の中心
• オイラー線
• 頂垂線 (三角形)

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Orthocenter". MathWorld (英語).
• orthocenter - PlanetMath.（英語）
• (Definition:Orthocenter) at ProofWiki