位相幾何学における単連結空間(たんれんけつくうかん、英: simply connected space)とは、任意の(ループ)を連続的に1点に収縮できるような弧状連結空間のことである。
上図の穴あき平面は
連結であるが、穴のまわりを1周するループを考えればわかるように単連結ではない。穴を全てふさげば単連結となる。
定義 ある弧状連結空間の基本群が、単位元のみを要素として持つ自明な群であるとき、その空間を単連結であるという。基本群の場合は基点に留まり続ける定値道を(代表元)とするループのホモトピー型が単位元になる。つまり、その空間上において(あたえられた基点に対する)任意のループが常にホモトピックな連続変形によって1点(基点)に収縮できれば単連結ということになる。弧状連結という仮定から、任意のループが1点に収縮できるかどうかは基点の取り方に依存しないで定まる。
例 線分・円板・球体やn次元ユークリッド空間、2次元以上の球面などは単連結である。他方、トーラスやアニュラス、メビウスの帯、円周、結び目の補空間などは単連結ではない。
例えばトーラスの場合、1点に収縮できるようなループも存在するが、右図のようにメリディアンやロンジチュードといった閉曲線上を1周するループをとるとこれは1点に収縮できなくなる。実際、トーラスの基本群は
-
であり、自明な群ではない。
性質 - 単連結な開集合 A , B が全空間 X を被覆し、共通部分 A ∩ B が空でなく弧状連結であるとき、Xも単連結である。
- 単連結空間の直積もやはり単連結である。
- 可縮な空間は単連結である。
関連項目参考文献 - 瀬山士郎 『トポロジー―ループと折れ線の幾何学』 朝倉書店、1989年、91-94頁。(ISBN 978-4254114652)。
- (小林一章) 『曲面と結び目のトポロジー―基本群とホモロジー群』 朝倉書店、1992年、22-23頁。(ISBN 978-4254114713)。
- (クゼ・コスニオフスキ)著、(加藤十吉)訳編 『トポロジー入門』 東京大学出版会、1983年、140-142頁。
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