単調族

集合族の一種である単調族（たんちょうぞく、英: monotone class）は、測度論においてより複雑な集合族を構成するために用いられる。

定義

集合 X の部分集合族 ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$  が単調であるとは、${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  の(単調集合列)（ドイツ語版）（単調増加または単調減少な列）の極限がまた ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  に属するときに言う。記号で書けば、

${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\text{ s.t. }}A_{1}\subset A_{2}\subset \dotsb \in {\mathcal {M}}\implies \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {M}},}$ 

${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\text{ s.t. }}B_{1}\supset B_{2}\supset \dotsb \in {\mathcal {M}}\implies \bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\in {\mathcal {M}}.}$ 

性質

複数の単調族の交わりはまた単調族を成す。ゆえに任意の集合族 K の生成する単調族が

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{K}:=\bigcap _{{\mathcal {M}}{\text{: Monotone}} \atop K\subset {\mathcal {M}}}{\mathcal {M}}}$ 

と定義できる。これは(閉包作用素)（英語版）と解釈できる。

 

測度論における集合族の関係図

他の集合族との関係

• 単調族を成す集合環はσ-集合環である。
• 集合 X の部分集合からなる単調族が、全体集合 X を含み、かつその族に属する集合 A, B が B ⊂ A を満たすとき必ず A ∖ B もその族に属するならば、その単調族はディンキン族である。
• 任意の σ-集合環は単調族である。
• 集合代数の生成する単調族の全体は代数の生成するσ-集合代数の全体と対応を持つ。
• 集合環の生成する単調族は、その集合環の生成する σ-集合環と一致する。

参考文献

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, (ISBN 978-3-540-89727-9).

関連項目

• (単調族定理)（英語版）

外部リンク

• monotone class - PlanetMath.（英語）