与えられた数より小さい素数の個数について

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『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて^[1]、ドイツ語の原題: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, 英語での定訳: On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』(Monatsberichte der Königlich Preußischen Akadademie der Wissenschaften zu Berlin) 上に掲載された。解析学や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか9ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳で没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある^[2]^[3]^[4]。

『ベルリン学士院月報』（1859年11月号）に掲載された論文。

本論文には6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。

この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は $z = x + iy$ （特に $z = 1/2 + iy$ ）と書くところを、リーマンゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで $s = 1/2 + it$ と書く慣習がある^{[注 1]}。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号 $ζ (s)$ を用いて記述したことから以後定着した。

導入された新定義

リーマンゼータ関数 $ζ (s)$ の $s = 1$ を除く全複素平面への解析接続
整関数 $ξ (t)$ ^{[注 2]}
離散関数 $J (x)$ ^{[注 3]}

記載された証明又は証明のあらまし

$ζ (s)$ の(関数等式)についての二通りの証明
$ξ (t)$ の積表示^{[注 4]}の証明のあらまし（1896年にアダマールが完全に証明）
$ξ (t)$ の零点のうち虚部が $0$ と $T$ の間であるものの近似的な個数についての証明のあらまし（1905年に(フォン・マンゴルト)（英語版）が完全に証明）
リーマンの素数公式の証明のあらまし（1895年にフォン・マンゴルトが完全に証明）

提起された予想

リーマン予想：「 $ξ (t)$ の全ての零点は実数である」。 $α$ を $ξ (t)$ の零点として、 $ζ (s)$ の負の偶数を除く零点は $1/2 + iα$ と書けるので、これは次のよく知られた形に言い換えられる。「 $ζ (s)$ の非自明な零点の実部は $1/2$ に等しい」

導入された新たな技法等

解析接続（ただしワイエルシュトラス流のものとは異なる）
線積分 (contour integration)
フーリエ逆変換

リーマンはまた関数 $J (x)$ を本質的にスティルチェス積分の尺度として用い、 $ζ (s)$ と素数分布との関連を論じた。そして $log ζ (s)$ との比較を通じて、論文の主結果として $J (x)$ を定式化した。リーマンは更に進んで、一部に困難が残ることを認めつつ、素数の数を与える関数 $π (x)$ の近似公式の導出を試みた。素数分布をある程度正確に記述する素数定理は、後の1896年に(ド・ラ・ヴァレ・プーサン)（英語版）とアダマールによって独立に示された。もしリーマン予想が証明されれば、さらに精密な素数分布が導かれることが知られている。

日本語訳

杉浦光夫訳「与えられた限界以下の素数の個数について」（リーマン(2004)、155–162頁）
鈴木治郎訳「与えられた数より小さな素数の個数について」（エドワーズ(2012)、314–321頁^[5]）
平林幹人訳「与えられた数より小さい素数の個数について」（鹿野(1991)、17–28頁）

注釈

[脚注の使い方]

^ $s = σ + it$ と書く慣習はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。
^ $s = 1/2 + it$ として
$\xi (t)=\Gamma \left({\frac {s}{2}}+1\right)(s-1)\pi ^{-s/2}\zeta (s)\,$
で定義する。ここに、 $Γ$ はガンマ関数である。現代においてよく用いられる $ξ$ とは異なることに注意。
^ 原論文では $f (x)$ と表されている。 $x \geq 0$ で定義され、 $J (0) = 0$ かつ $J (x)$ は素数の冪 $p n$ 毎に $1/ n$ ずつ飛び飛びの値をとる。
^ $ξ$ の積表示とは、次の等式のこと。
$\xi (t)=\xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {t^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)$
ここに $α$ は $ξ$ の零点で、実部が正であるものをわたる。

出典

^ 訳は右記文献の平林幹人による。（鹿野(1991)、17–28頁）
^ 黒川 et al. 1999, p. 123
^ 黒川 & 小山 2009, p. 31
^ 黒川 2009, pp. 29–31
^ リーマン; 鈴木治郎訳 (2012年1月27日). “与えられた数より小さな素数の個数について” (PDF). 信州大学. 2012年7月20日閲覧。

参考文献

リーマン『リーマン論文集』足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介編、朝倉書店、2004年2月20日。ISBN (4-254-11460-5)。
(Harold M. Edwards) (2001). Riemann's Zeta Function. Dover Publications. ISBN (0-486-41740-9)
- (ハロルド・M・エドワーズ)『明解　ゼータ関数とリーマン予想』鈴木治郎訳、講談社、2012年6月25日。ISBN (978-4-06-155799-4)。
鹿野健編編『リーマン予想』日本評論社、1991年9月。ISBN (4-535-78181-8)。
黒川, 信重; 梅田, 亨; 若山, 正人; 中島, さち子 (1999-6). ゼータの世界. 日本評論社. ISBN (978-4-535-78261-7)
黒川, 信重; 小山, 信也 (2009-12). リーマン予想のこれまでとこれから. 日本評論社. ISBN (978-4-535-78550-2)
黒川, 信重 (2009-11). リーマン予想の150年. 数学，この大きな流れ. 岩波書店. ISBN (978-4-00-006792-8)

外部リンク

原論文の日本語訳 (PDF)
原論文の英訳 (PDF)
原論文 (PDF)
リーマンの手稿 (PDF)

[5] $s = σ + it$ と書く慣習はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。

[6] $s = 1/2 + it$ として
$\xi (t)=\Gamma \left({\frac {s}{2}}+1\right)(s-1)\pi ^{-s/2}\zeta (s)\,$
で定義する。ここに、 $Γ$ はガンマ関数である。現代においてよく用いられる $ξ$ とは異なることに注意。

[7] 原論文では $f (x)$ と表されている。 $x \geq 0$ で定義され、 $J (0) = 0$ かつ $J (x)$ は素数の冪 $p n$ 毎に $1/ n$ ずつ飛び飛びの値をとる。

[8] $ξ$ の積表示とは、次の等式のこと。
$\xi (t)=\xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {t^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)$
ここに $α$ は $ξ$ の零点で、実部が正であるものをわたる。

[1] 訳は右記文献の平林幹人による。（鹿野(1991)、17–28頁）

[2] 黒川 et al. 1999, p. 123

[3] 黒川 & 小山 2009, p. 31

[4] 黒川 2009, pp. 29–31

[9] リーマン; 鈴木治郎訳 (2012年1月27日). “与えられた数より小さな素数の個数について” (PDF). 信州大学. 2012年7月20日閲覧。

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[注 1]

[注 2]

[注 3]

[注 4]

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